Question

高数 4小问？

Answer 1

主要是求解二阶导数，计算过程如下：
y=（x-1）x^2/3
y'=x^2/3+(x-1)*(2/3)*x^(-1/3)
=(1/3)x^(-1/3)(3x+2x-2)
=(1/3)x^(-1/3)(5x-2)
进一步求导为：
y''=(1/3)(-1/3)x^(-4/3)(5x-2)+(1/3)x^(-1/3)*5
=(-1/9)x^(-4/3)(5x-2)+(1/3)x^(-1/3)*5
=(1/9)x^(-4/3)(5x-2+5x)
=(1/9)x^(-4/3)(10x-2),
令y''=0,则x=1/5.
则x在(-∞，1/5】时，y''<0,此时为凸函数，该区间为凸区间。
则x在(1/5，+∞）时，y''大于0,此时为凹函数，该区间为凹区间。

Answer 2

（4） y = (x-1)x^(2/3) = x^(5/3)-x^(2/3)
y' = (5/3)x^(2/3) - (2/3)x^(-1/3)
y'' = (10/9)x^(-1/3) + (2/9)x^(-4/3) = 2(5x+1)/[9x^(4/3)]
令 y'' = 0, 得 x = -1/5; 二阶导数不存在的点是 x = 0。
在 x = -1/5 左右两侧， 二阶导数变号， 得拐点 (-1/5, (-6/5)5^(1/3) )
在 x = 0 左右两侧， 二阶导数不变号，不是拐点。
凸区间 （-∞，-1/5）， 凹区间 （-1/5，+∞）