Question

如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O． （1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．
（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

1.∵y=ax²+2x的对称轴是直线x=3,
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A（3,3）
2. 令对称轴与x轴交于D ∴D（3,0） 由抛物线的对称性可知：B（6,0）
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B（6,0） A（3,3）
由待定系数法可得：
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式：y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中，
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0＜S≤18
∴当s=18时，即： OP*BF=18
所以OP=3√2
易得：-3≤t≤3且t≠0
（3）t的最大值：3
∴P（3，-3）
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得：∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1（3,3）
②同理：连接BP
可证：Q2与B重合：即，Q2（6,0）
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3（k2≠0）
可得：y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②：x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2（6,0）
∴Q3（-3,-9）
综上所述，存在点Q 点Q坐标为：（3，3）（6，0）或（-3，-9）

Answer 2

解：（1）、对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O，则B（6，0）、O（0，0），
抛物线的解析式y=-x^2/3+2x，A点的坐标为（3，3）。
（2）、AB的解析式求得为y=-x+6，所以直线l的解析式为y=-x
当P点在第四象限时，点P的坐标是（t，-t）(t>0)
S＝0.5*6*3+0.5*6*（-t）
S＝9-3t
所以t的取值范围是0<t≤3
当P点在第二象限时，点P的坐标是（-t，t）(t<0)，因为A（3，3），直线l的解析式为y=-x
所以三角形OPA是直角三角形，AO=3根号3，OP=-t根号2
S＝0.5*6*3+0.5*3根号3*（-t根号2）
S＝9-（根号6t）/2
所以t的取值范围是-3根号6≤t<0
（3）、当t取最大值时，t＝3，P点坐标为（3，-3），过P点作PQ垂直OP交抛物线于点Q，连接OQ，Q点坐标是（-3，0）或（6，0）

Answer 3

1.∵y=ax²+2x的对称轴是直线x=3,
∴-2/2a=3 a= -1/3
∴y=-1/3x²+2x
当x=3时
y=-1/3*3²+2*3=3
∴A（3,3）
2. 令对称轴与x轴交于D ∴D（3,0） 由抛物线的对称性可知：B（6,0）
设直线AB的函数解析式是y2=kx+b2 ∵图像过B（6,0） A（3,3）
由待定系数法可得：
……
y2= -x+6
∵AB‖直线l 且直线l过原点O
∴l的解析式：y3=-x
令直线l与对称轴交于E
∴∠BOE=45°
过B作BF⊥直线l于F
在Rt△BOF中，
sin∠BOF=BF/OB=√2/2
又OB=6 ∴BF=3√2
∵0＜S≤18
∴当s=18时，即： OP*BF=18
所以OP=3√2
易得：-3≤t≤3且t≠0
（3）t的最大值：3
∴P（3，-3）
①过O作OQ1⊥OP交抛物线于Q
连接OA
∵OD=BD=DA=3
所以∠OAB=90°
∵AB‖直线l
∴可得：∠AOP=90°
所以此时A与Q1重合
∴Q1（3,3）
②同理：连接BP
可证：Q2与B重合：即，Q2（6,0）
设BP的函数解析式为y4=k2x+b3（k2≠0）
可得：y4=x-6 ①
y=-1/3x²+2x ②
把①代入②：x1=-3 y1=-9
X2=6 y2=0
∵Q2（6,0）
∴Q3（-3,-9）
综上所述，存在点Q 点Q坐标为：（3，3）（6，0）或（-3，-9）

Answer 4

1楼的AO=3根号2 后面答案都不对了 -3≤t＜0 （3）两个点都不在抛物线上不对的吧

Answer 5

对称轴x=-(2/2a)=3，解得：a=-1/3
所以抛物线的解析式为y=-1/3x2+2x
当x=3时，y=-3+6=3
所以顶点坐标为（1,3）