Question

已知数列{an}满足a1=1，an+an-1=2n-1，n≥2，且n∈N+，则数列{an2n}的前n项和为（　　）A．Sn=1-12nB．Sn

已知数列{an}满足a1=1，an+an-1=2n-1，n≥2，且n∈N+，则数列{an2n}的前n项和为（　　）A．Sn=1-12nB．Sn=2-12n?1-n2nC．Sn=n（1-12n）D．Sn=2-12n?1+n2n

Answer 1

由a₁=1，a_n+a_n-1=2n-1，n≥2，得
a₂=2，a₃=3，a₄=4，…
由此猜测a_n=n．
下面利用首项归纳法证明：
a₁=1符合；
假设n=k时成立，即a_k=k，
那么，当n=k+1时，a_k+1+a_k=2（k+1）-1=2k+1，
则a_k+1=2k+1-k=k+1，
∴当n=k+1时结论成立．
综上，a_n=n．
设数列{

an

2n

}的前n项和为S_n．
则Sn＝1?

1

2

+2?

1

22

+3?

1

23

+…+n?

1

2n

  ①，

1

2

Sn＝1?

1

22

+2?

1

23

+…+(n?1)?

1

2n

+n?

1

2n+1

  ②，
①-②得

1

2

Sn＝

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

?

n

2n+1

=

1 2 (1? 1 2n )

1? 1 2

?

n

2n+1

＝1?

1

2n

?

n

2n+1

．
∴S_n=2-

1

2n?1

-

n

2n

．
故选：B．