Question

求函数y=x²-x/x²-x+1的值域

Answer 1

函数y=(x^2-x)/(x^2-x+1)的值域为〔-1/3，1)。因为
函数y=(x^2-x)/(x^2-x+1)
=〔(x^2-x+1)-1〕/(x^2-x+1)
=1-1/(x^2-x+1)
=1-1/〔(x-1/2)^2+3/4〕
又(x-1/2)^2+3/4≥3/4
那么，1/〔(x-1/2)^2+3/4〕≤4/3
1-1/〔(x-1/2)^2+3/4〕≥-1/3
所以y≥-1/3。

Answer 2

y= (x^2-x)/(x^2-x+1)
长除法得出
y= 1 +1/(x^2-x+1)
当 x->∞ ,y->1
考虑分母的判别式
Δ(x^2-x+1)
=1-4
=-3
<0
求导数
y'= -(2x-1)/(x^2-x+1)^2
y'=0
得出结果
x=1/2
可根据
y'|x=1/2+ <0 并
y'|x=1/2- >0
得出 x =1/2 是最大
最大的f(x) = f(1/2)= 1 + 1/( 1/4 -1/2 +1) =1 + 4/3 = 7/3
值域 = (1, 7/3]

Answer 3

答：
y=(x^2-x)/(x^2-x+1)
设t=x^2-x=(x-1/2)^2-1/4>=-1/4
原函数化为：
y=t/(t+1),t>=-1/4
=(t+1-1)/(t+1)
=1-1/(t+1)
因为：t>=-1/4,t+1>=3/4
所以：0