Question

设A为n阶方阵，且A^2-A=2I，证明：R(2I-A)+R(I+A)=n

解：
由A²-A=2I
得A²-A-2I=0
(A-2I)(A+I)=0
所以R(A-2I)+R(A+I)≤n
又R(A-2I)=R(2I-A)
故 R(2I-A)+R(A+I)≤n
又R(2I-A)+R(A+I)≥R[(2I-A)+(A+I)]=R(3I)=n
所以R(2I-A)+R(I+A)=n

为什么可以得到 R(2I-A)+R(A+I)≤n??

Answer 1

这是一个普遍的结论。
今描述如下：A,B都是n阶方阵，AB=0，则r(A)+r(B)<=n。证明如下埋做：
设B=(b_1,b_2,…,b_n)，b_1,b_2,…,b_n为矩阵B的列向量组。
有AB=(A*b_1,A*b_2,…A*b_n)=(0,0,…,0)，
即b_1,b_2,…,b_n均为齐次方程Ax=0的解。
则b_1,b_2,…,b_n可以被方程Ax=0的基础袜液郑解系线性表出，且基础解系的个数为n-r(A)；
又告颂列向量组b_1,b_2,…,b_n的极大线性无关组的个数就是矩阵B的秩r(B)，
所以有r(B)<=n-r(A)即r(A)+r(B)<=n。 证毕#