Question

定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时， f(x)=( 1 2 ) |x-m| +n

定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时， f(x)=( 1 2 ) |x-m| +n ，且f（4）=31．（1）求证：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比较f（log 3 m）与f（log 3 n）的大小．

Answer 1

（1）证明：∵f（x+4）=f（x）∴f（2）=f（6）…（4分） （2）由 f(4)=31 f(2)=f(6) 得 ( 1 2 ) |4-m +n=31 ( 1 2 ) |2-m +n=( 1 2 ) |6-m +n ，解得 m=4 n=30 …（10分） （3）∵log 3 4∈（1，2）∴log 3 4+4∈（5，6） ∴ f( log 3 4)=f( log 3 4+4)=( 1 2 ) | log 3 4+4-4| +30=( 1 2 ) log 3 4 +30 ∵log 3 30∈（3，4） ∴ f( log 3 30)=( 1 2 ) | log 3 30-4| +30=( 1 2 ) 4- log 3 30 +30=( 1 2 ) log 3 27 10 +30 ∵ lo g 3 27 10 ＜lo g 3 4 ∴ ( 1 2 ) log 3 27 10 ＞( 1 2 ) log 3 4 ∴ ( 1 2 ) log 3 27 10 +30＞( 1 2 ) log 3 4 +30 ∴f（log 3 4）＜f（log 3 30）即f（log 3 m）＜f（log 3 n）…（16分）