Question

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；（3）若正方形ABCD边长为2，求四棱锥SABCD的体积．

Answer 1

（1）连结OE，因为E，O分别是SC，AC的中点，所以OE∥SA，
因为OE?面BDE，SA?面BDE，所以SA∥平面BDE；
（2）因为四棱锥SABCD中，四个侧面都是等边三角形，所以SA=SC，SD=SB，
所以SO⊥AC，S0⊥BD，
又底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为S0∩AC=O，
所以BD⊥平面SAC；
又BD?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面SAC；
（3）由（2）知SO⊥AC，S0⊥BD，
所以SO⊥平面ABCD；即SO是四棱锥SABCD的高．
因为正方形ABCD边长为2，所以SB=2，OC=

2

，
所以SO=

SB2?OC2

＝

22?2

＝

2

．
所以四棱锥SABCD的体积为

1

3

×22×

2

＝

4 2

3

．