Question

一道数列收敛的证明题...

如果 S1= 2^(1/2), S (n+1) = (2+Sn^(1/2))^(1/2)..证明 数列 {Sn} 收敛 和 Sn < 2 .

S(n+1) 指 数列中第n+1项

Answer 1

证明：1）用数学归纳法：
n=1时，Sn=√2<2.假设n=k时S(k+1)<2
当n=k+1时，S(k+2)=[2+S(k+1)^(1/2)]^(1/2)<(2+2)^(1/2)=2
2)显然Sn是单调递增的，再结合1）的结论有数列的单调有界定理有数列Sn收敛
且S（n+1）^2=2+Sn^(1/2),令S（n+1）的极限为a，则两边取极限得a^2=2+a^(1/2),解出a就是Sn的极限
综合上述分析：数列 {Sn} 收敛 和 Sn < 2 .

Answer 2

1. 利用S1 以及S(n+1)和Sn之间的递推关系可以用数学归纳法证明Sn<2.
2. 易见{Sn}是单调递增数列，又由第一步的结果“Sn<2”，由单调有界定理知道{Sn}收敛。