如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，A
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直线AB与直线PD所成...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直线AB与直线PD所成的角为60°．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求AB的长，并求二面角D-PB-C的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥A-DPB的体积．
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解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥PC，AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：取BC的中点E，则BE=1，连结PE，DE，
∵AD
BE，∴AB
DE，
由（Ⅰ）知DE⊥平面PBC，且∠PDE为异面直线AB与PD所成的角，
∴∠PDE=60°，
在△PBE中，由余弦定理，得PE=
=
，
在Rt△PDE中，DE=
=
×
=1．
∴AB=1，
在平面PBC内，过B作BF⊥BC，
建立如图所求的空间直角坐标系B-xyz，
则B（0，0，0），D（1，1，0），P（0，-
，
），
∴
＝(1，1，0)，
＝(0，?
，
)，
设平面BDP的一个法向量为
=（x，y，z），
则
，
取z=
，得
＝(?3，3，
)，
取平面PBC的法向量
＝(1，0，0)
∴cos＜
，
＞=
∴AB⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：取BC的中点E，则BE=1，连结PE，DE，
∵AD
| ∥ |
. |
| ∥ |
. |
由（Ⅰ）知DE⊥平面PBC，且∠PDE为异面直线AB与PD所成的角，
∴∠PDE=60°，
在△PBE中，由余弦定理，得PE=
| BP2+BE2?2BP?BE?cos120° |
| 3 |
在Rt△PDE中，DE=
| PE |
| tan∠PDE |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴AB=1，
在平面PBC内，过B作BF⊥BC，
建立如图所求的空间直角坐标系B-xyz，
则B（0，0，0），D（1，1，0），P（0，-
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| BD |
| BP |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设平面BDP的一个法向量为
| n |
则
|
取z=
| 3 |
| n |
| 3 |
取平面PBC的法向量
| m |
∴cos＜
| n |
| m |
| ?3 | |
|
