Question

如图棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,M为棱B1B的中点。

求证：平面EFB1垂直于平面D1C1M

Answer 1

可先证明FB1垂直于C1M(用初中几何知识）
再由D1C1垂直于平面BCC1B1可得FB1垂直于D1C1，
得FB1垂直于平面D1C1M（直线垂直于平面内的两条相交直线）
而FB1在平面EFB1内。
所以平面EFB1垂直于平面D1C1M

Answer 2

∵△C1B1M全等于△BB1F（自己证）∴∠BB1F+∠B1MC1=90°
∴∠B1NM=90°（设C1M与B1F交点为N）∴FB1⊥C1M
∵D1C1⊥C1C,D1C1⊥C1B1
∴D1C1⊥平面BCC1B1(线面垂直判定定理)
∴FB1⊥D1C1(线面垂直性质)
∴FB1⊥平面D1C1M(线面垂直判定定理)
∵FB1在平面EFB1内
∴平面EFB1⊥平面D1C1M(面面垂直判定定理)

Answer 3

M为棱B1B上的中点，
∵B1F⊥C1M，D1C1⊥B1F，D1C1∩C1M=C1
∴B1F⊥平面D1C1M，D1M⊂平面D1C1M
∴D1M⊥B1F，EF⊥D1M，EF∩B1F=F
∴D1M⊥平面EFB1．

Answer 4

∵在△C1B1与△BB1F中 ，b1b=c1b1 ∴∠BB1F+∠B1MC1=90°
∴∠B1NM=90°（设C1M与B1F交点为N）∴FB1⊥C1M
∵D1C1⊥C1C,D1C1⊥C1B1
∴D1C1⊥平面BCC1B1
∴FB1⊥D1C1
∴FB1⊥平面D1C1M
∵FB1在平面EFB1内
∴平面EFB1⊥平面D1C1M