Question

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，链接AF交CE与点H，联结AC

CF,BF
2.若AE比BE=1比4，求CD的长。
3.在（2)条件下，求AH×AF的值

Answer 1

已知:如图,AB为圆O的直径,点E是OA上任意一点,过点E作弦CD⊥AB,点F是BC弧上一点，连接AF交CE与点H，联结AC ，CF，BF；1）。.若AE比BE=1比4，求CD的长。2）。.在(1)的条件下，求AH×AF的值
解：1).设圆的直径为d，因为AB是直径，故AB=d,，AE/BE=1/4，故AE=d/5，BE=4d/5；
∠ACB是直径上的圆周角，故∠ACB=90°，CD⊥AB，故CE是RT△ABC斜边上的高，
AC²=AE×AB=(d/5)×d=d²/5，故AC=d/√5=(√5/5)d.
CE²=AC²-AE²=d²/5-d²/25=4d²/25，∴CE=2d/5，于是得CD=2CE=4d/5.
2).RT△AEH～RT△AFB，AH/AB=AE/AF，∴AH×AF=AB×AE=d×(d/5)=d²/5

Answer 2

（1）证明：∵直径AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
∴∠F=∠ACD，
而∠CAH=∠FAC，
∴△ACH∽△AFC；
（2）解：AH•AF=AE•AB．理由如下：
连BF，如图．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠AEH=90°，
而∠EAH=∠FAB，
∴Rt△AEH∽Rt△AFB，
∴AE：AF=AH：AB，
即AH•AF=AE•AB；