Question

设a为实数，函数f（x）=x^2+｜x-a｜+1，x∈R （1）讨论f（x）的奇偶性；（2）若x≥a，求f（x）的最小值

Answer 1

函数f（x）=x^2+｜x-a｜+1，
（1）a=0时，f（x）=x^2+｜x｜+1，f(-x)=f(x),f(x)是偶函数
a≠0时，f（-x）≠f(-x)，f（-x）≠-f(x），f(x)非奇偶函数
（2）x≥a，配方得：f(x)=(x+1/2)^2 -a +3/4
当a<-12时, f(x)在[a,-1/2]上递减，在[-1/2，+∞)上递增
x=-1/2时 f(x)min=-a+3/4
当a≥-1/2时，f(x)在[a,+∞）上递增
x=a时，f(x)min=a^2+1

Answer 2

f(-x)=x^2+ |x+a| +1 不恒等于f(x)或-f(x)
f(x)非奇非偶

x≥a，f(x)=x^2 + x-a+ 1=(x+1/2)^2 -a +3/4 配方
x=-1/2时 f(x)min=-a+3/4