Question

一道高中数学题 急求答案

如图，B地在A地的正东方向4 km处，C
地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流
的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上任
意选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物，经测算，从M到B、C两地修建公路
的费用都是a万元/km、那么修建这两条公路
的总费用最低是（ ）
级别不够，图片没法传，网上有类似的题，图是一样的，大家麻烦查一下，谢谢了！！！

Answer 1

应用题都要联系到高中所学知识，找到突破点！
突破点是什么？就是“任意一点到A的距离比到B的距离远2km“。
这意味着什么？联想到圆锥曲线中：椭圆上的点到两焦点的距离之和为一常数(2a)；双曲线上的
点到两焦点的距离之差为一常数(2a)；抛物线上的点到焦点
的距离等于准线的距离。
于是，就可知道，应该应用双曲线的性质来求解了。由于双曲线：x²/a²－y²/b²=1，建立坐标轴，并将A、B当作一双曲线的焦点，于是A(-2,0)、B(2,0)、C(3,√3)，则可知，PQ为该双曲线右半支，并且其中 c=2，a=1，b=√3，则双曲线为：x²－y²/3=1。若M(x,y)，
则|MB|=|ME|×2=(x-1/2)×2=2x-1，(双曲线上的点到焦点的距离等于该点到对应准线距离的c/a倍)
其中 |ME|=(x-1/2)，(E为M到准线的垂足)。
此时一看，若修路|MB|为a,|MC|为2a，那这题就简单了，a|MB|+2a|MC|=2a(|ME|+|MC|)，只要M、C、E 在同一直线上时，(|ME|+|MC|)就最短了，为|CE|=3-1/2=2.5，所以费用为：5a；

若修路都为a，则费用为 a(|MB|+|MC|)，这样就不能利用双曲线准线的性质了，这样只有利用导数或者用拉格朗日乘数法来解了，比较麻烦的…… 楼上说的PQ与BC交点明显不行的，B、C在PQ内部，它们的连线是不会相交的，且|BC|等于2(题目都告诉了),

|MB|+|MC|=2x-1 +√[ (x-3)²+(y-√3)²]， x=√(1+y²/3)，慢慢代入了求导吧……

Answer 2

别参照那个链接，题目不一样的，MB MC 修路费用那道题是a和2a，本题都是a
PQ是双曲线（根据双曲线定义） 由于修路费用相同，问题简单了，就是求PQ上一点到B、C的距离最短，显然是BC连线与PQ交点，其实就转化成了求BC距离问题。
过C做AB的高CD=1 BD=4-√3 BC=20-8√3
最小费用就是（20-8√3)a

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/90606145.html?an=0&si=4
上面的网址就是答案了

Answer 4

啊？