Question

一道积分上限函数求极限，有点小疑惑求高手指明

题目如下：

答案的解法我已经明白，我的疑惑是在于这个极限其他的解法，如下图，在第二个式子的时候，为什么答案不把分子分母同除一个x，再把积分上限函数经洛必达后变成第三个式子，约去f(x)后得到1/2这个答案。但是正确答案应该是3/4。

话语写的有点杂，如有没表述清楚地方请指明，恳请高手们不吝赐教。
前面3/4打错了，正确答案应该是1/4。

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Answer 1

第一，
洛必达法则是如下除的形式：
LimF/G=LimF'/G'。
不是以下的形式：
Limf/【(g/h)+f】=Limf/【(g'/h')+f】。
第二，
如果先单独求一下Lim∫〔0到x〕f(t)dt/x
则用洛必达法则得到=Limf(x)=f(0)=0，
而不是=f(x)。

追问

谢谢指教。
这里确实应该是单独求这个上限函数的极限。如果按这么算，我所得第三个式子应该是1-[f(0)/(f(0)+f(0))]，因为分母为0，所以这个式子没有意义，请问是这个意思吗？

追答

关于
“如果按这么算，
我所得第三个式子应该是1-[f(0)/(f(0)+f(0))]，
因为分母为0，所以这个式子没有意义”，
是这个意思。

关于
“这里确实应该是单独求这个上限函数的极限。”
这句欠妥。原因是上面所说的，行不通。

所以才有答案的解法。

Answer 2

答案呢,我看一下,谢~ , 得1/4的答案在哪呢??

追问

按照题目意思，一阶导数可导，二阶导数存在，那么将第二个式子极限0/0型进行洛必达处理后，会得到一个含有f(x)与f'(x)的分式，分子分母同除x^2，结合二阶导数的定义式f''(x)=lim[f'(x)-f'(0)]/(x-0)，最终会得到一个只有f''(x)的分式，约去f''(x)就得到答案了。

追答

也就是说，你给的是错的答案

你给的图片中，无法从二式推到三式啊！！明显不对

追问

是我没说明清楚。这几个式子是我感觉困惑的地方，并不是答案解析，正确答案的做法是我在前一句中所说的。

追答

现在还不懂吗？