Question

排列组合

有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人并且已选定）得2本，其它每人一本，则共有多少种不同的奖法

Answer 1

1、你这样的计算方法实际上有重复计算的成分，设英语翻译员为集合a，日语翻译员为集合b，双语翻译员为集合c，C(7,4)*C(4,4)，C(6,4)*C(5,4)和C(5,4)*C(6,4)中实际上都包括了从a中选4个从b中选4个的组合数。因此需要分情况分别计算：
不从集合c中选人：C(5,4)*C(4,4)=5
从集合c中选一人：C(2,1)*C(5,3)*C(4,4)（选一人翻译英语）+C(2,1)*C(5,4)*C(4,3)（选一人翻译日语）=60
从集合c中选2人：C(2,2)*C(5,2)*C(4,4)（选两人翻译英语）+C(2,2)*C(5,4)*C(4,2)（选两人翻译日语）+C(2,1)*C(5,3)*C(4,3)（选一人翻译英语一人翻译日语）=120
然后将以上三种情况的组合数相加即可，为185。
2、分堆问题，设元素的总数为m，要分成分别包含a1、a2、a3...an个元素的n堆，在不对这n堆进行排列的情况下，不同分堆策略可能性共有C(m,a1)*C(m-a1,a2)*C(m-a1-a2,a3)...*C(m-a1-a2-...-a(n-1),an)/A(n,n)种。
3、4个人去3个房间，要看题目设置的条件如何。
如果条件是每间房间内至少需要有一个人，则4个人只能分成1、1、2的组合，分组的可能性为C(4,2)，然后分配到3个房间中，即需进行A(3,3)的排列，故有C(4,2)*A(3,3)=36种可能性。
如果房间内可以一个人都没有，则需要分情况讨论：（1）4个人只在一间房内，显然只有A(3,1)=3种情况；（2）4个人在两间房内，则有2、2和1、3两种分法，2、2分法有C(4,2)*A(3,2)/2=18种情况，而1、3分法有C(4,1)*A(3,2)=24种情况；（3）4个人在三间房内，由上可知有C(4,2)*A(3,3)=36种情况；故而总共有81种不同情况。
10个人里挑4个人共有C(10,4)种情况，再对应到4个节目有A(4,4)种情况，故而总排列数为A(10,4)=5040。

Answer 2

1,“将5名教师分派到3所学校”意味着5名教师全部都要被分配。“每所学校至少分到1名教师”说明每一所学校要保证至少分得一名教师，所以要先将教师进行分成三组，分组方法有
“311分组法”，即从五个里面选出三个作为一组，其余两个作为两组。所以只要算出三个人的选法就可以了。三个人的选择方法有
C(3,5)=10
“221分组法”
C(2,5)C(2,3)=30
所以总的分组方法有10+30=40种
现在再进行分配，一个教师组对应一所学校，也可以理解为教师选学校或学校选教师。总共是三所学校，排列方法有
P(3,3)=6种
所以将5名教师分派到3所学校总的分配方法有40*6=240种
2、这题跟上一题解答方法相同，但是需要注意一点，三好生名额是等同的，不像教师那样存在个体上的差异，只要确定分组方式后，无论怎么组合都是相同的。首先还是先对10个名额进行分组，要分成6组，分组方式有：
“511111”分组，班级里要选出一个班来接受这五个三好生名额，所以分配方法为：
C(1,6)=6种
“421111”分组，班级里要选出两个班来接受这4和2个三好生名额，有排列问题，所以分配方法为：
C(2,6)P(2,2)=30种
“331111”分组，同理，班级里要选出两个班来接受这两个3个三好生名额，因为都是3个名额，无排列问题，所以分配方法为：
C(2,6)=15种
“322111”分组，同理（注：有排列问题）
C(3,6)P(3,3)=120种
“222211”分组，同理（注：无排列问题）
C(4,6)=15种
所以将10个三好生名额分配到6个班的分配方法共有：6+30+15+120+15=186种

Answer 3

排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与古典概率论关系密切

Answer 4

定义
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。

符号

C-组合数
P-排列数
N-元素的总个数
R-参与选择的元素个数
!-阶乘 ，如5！=5*4*3*2*1=120

历史

1772年，旺德蒙德以[n]p表示由n个不同的元素中每次取p个的排列数。而欧拉则于1771年以 及于1778年以表示由n个不同元素中每次取出p个元素的组合数。至1872年，埃汀肖森引入了 以表相同之意，这组合符号（Signs of Combinations）一直 沿用至今。

1830年，皮科克引入符号Cr以表示由n个元素中每次取出 r个元素的组合数；1869年或稍早些，剑桥的古德文以符号nPr 表示由n个元素中每次取r个元素的排列数，这用法亦延用至今。按此法，nPn便相当於现在的n!。

1880年，鲍茨以nCr及nPr分别表示由n个元素取出r个的组合数与排列数；六年后，惠特渥斯以及表示相同之意，而且，他还以表示可重复的组合数。至1899年，克里斯托尔以nPr及nCr分别表示由n个不同元素中 每次取出r个不重复之元素的排列数与组合数，并以nHr表示相同意义下之可重复的排列数，这三种符号也通用至今。

1904年，内托为一本百科辞典所写的辞条中，以 表示上述nPr之意，以表示上述nCr之意，后者亦同时采用了。这些符号也一直用到现代。

Answer 5

因为组合的情况是不考虑顺序的,所以在全排列后要除以重复次数
比如从5个学生中选3个去比赛,因为只要选3个人,而不用考虑选出来以后的顺序,所以就是先5*4*3,再要除以其中重复计算的次数,也就是3*2*1.
不要死记公式,尽量去理解.