Question

求n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数与一组基

Answer 1

1. n阶全体对称矩阵所成的线性空间的维数是 (n^2 - n )/2 + n.
其实就是主对角线上的元素个数 + 主对角线上方的元素个数.
这些元素所在的位置, 唯一确定一个对称矩阵, 所以有:
2. 设 Eij 为 第i行第j列位置是1其余都是0的n阶方阵.
则 n阶全体对称矩阵所成的线性空间的一组基为:
{ Eij, i,j = 1,2,...,n, i <= j }