Question

函数f(x)=1/2x^2+x+alnx,若函数在(0,1)上单调递增,（1）求实数a的取值范围

（2）讨论函数在(0,1)的极值点的个数

Answer 1

f"(x)=x+1+a/x=(x^2+x+a)/x
另它等于零，即，x^2+x+a=0
当a大于等于四分之一时
函数在（0,1）上单调。无极值点
当a属于（负2，0）时，f"(0)小于0，f"(1)大于0，所以有一个极值点
当a属于负2到负无穷时，f"(0)小于0，f"(1)小于等于0，无极值点
综上，a属于（负2，0）时有一极值点，属于。。。时无极值点

Answer 2

函数在(0,1)上单调递增,说明 f'(x)=x+1+a/x 在0到1上值为正。
也就是说0<X<1时x+1+a/x>0 移向化简得x^2+x+a>0 画出F(x)=x^2+x+a 的图像。
F(x)>F(0)=a F(x)>a 那么 a>=0 就是所求
（2）函数在(0,1)上单调递增，在(0,1)上就没有极值点