Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．

若 AD=2 根 6，AE=6 根2，求BC的长(BC不是BD）

Answer 1

∵∠CBE＝∠DBE、∠BCE＝∠BED＝90°，∴∠BEC＝∠BDE，∴∠BEC＋∠DBE＝90°。
而∠AED＋∠BEC＝180°－∠BED＝180°－90°＝90°，∴∠BEC＋∠DBE＝∠AED＋∠BEC，
∴∠AED＝∠DBE，又∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEB，∴AD/AE＝AE/AB，
∴AB＝AE^2/AD＝（6√2）^2/（2√6）＝36/√6＝6√6。
∴BD＝AB－AD＝6√6－2√6＝4√6。

∵△ADE∽△AEB，∴DE/BE＝AD/AE＝2√6/（6√2）＝√2/√6，∴DE＝√2BE/√6。
由勾股定理，有：DE^2＋BE^2＝BD^2，
∴2BE^2/6＋BE^2＝BD^2，∴BE^2＝（3/4）BD^2。

由∠CBE＝∠DBE、∠BCE＝∠BED，得：△BCE∽△BED，∴BC/BE＝BE/BD，
∴BC＝BE^2/BD＝（3/4）BD^2/BD＝（3/4）BD＝（3/4）×（4√6）＝3√6。
即：满足条件的BC的长为 3√6。