Question

一动圆过定点A(-√2,0)且与定圆(X-√2)^2+Y^2=12相切，

（1）求动圆圆心C的轨迹M的方程
（2）过点P（0，2）的直线L与轨迹M交于不同两点E,F，求向量PE*向量PF的取值范围

详细过程，谢谢~

Answer 1

(1)设圆心坐标P（x，y），定圆圆心坐标O1（√2，0）半径2√3
则有|PO1|-|PA|=2√3
于是圆心轨迹为双曲线的一支，a=√2，c=√3
于是双曲线方程为x²/2-y²=1，x≤-√2
（2）设直线方程为y=kx+2
联立得（2k²-1）x²+8kx+12=0，△=64k²-48（2k²-1）＞0，且(x1+√2)+(x2+√2）＜0，（x1+√2）（x2+√2）＞0，得k∈（√2/2，√6/2），于是k²∈（1/2，3/2）
PE*PF=（x1，y1-2）*（x2，y2-2）=2x1x2=20/（2k²-1）
0＜2k²-1＜2
所以PE*PF∈（10，正无穷）

追问

“且(x1+√2)+(x2+√2）＜0，（x1+√2）（x2+√2）＞0，得k∈（√2/2，√6/2）”是怎么来的啊- - 看不懂啊， 拜托拜托了~ 谢谢~

追答

x1+√2＜0，x2+√2＜0
所以x1+√2+x2+√2＜0，且（x1+√2）（x2+√2）＞0

Answer 2

[[[1]]]
轨迹M: (x²/3)+y²=1
[[[2]]]
[3, 9/2)