求由心形线r=4(1+cosθ)、直线θ=0和θ=π/2所围图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积？
旋转体的体积为160π。
解：对于心型线r=4(1+cosθ)，那么x=rcosθ，y=r*sinθ。
根据二重积分中体积公式可知，该体积V为，
V=∫∫D2πydρ（其中D为心型线围成的区域，D={(r,θ)0≤θ≤π/2，0≤r≤r(θ)}）
=∫(0,π/2)∫(0,r(θ))2π*y*r^2dr
=∫(0,π/2)dθ∫(0,r(θ))2π*r^2*sinθdr
=2π*∫(0,π/2)sinθdθ∫(0,r(θ))r^2dr
=2π/3*∫(0,π/2)(r(θ))^3sinθdθ
=2π/3*∫(0,π/2)(4(1+cosθ))^3sinθdθ
=128π/3*∫(0,π/2)(1+cosθ)^3sinθdθ
=-128π/3*∫(0,π/2)(1+cosθ)^3d(1+cosθ)
=-128π/3*1/4*(1+cosθ)^4(0,π/2)
=32π/3*(2^4-1)
=160π
扩展资料：
1、二重积分的几何意义
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
2、二重积分性质
（1）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。
（2）被积函数的常系数因子可以提到积分号外。
3、心型线的数学表达方式
（1）极坐标方程
水平方向：ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)。垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)。
（2）参数方程
-π≤t≤π
x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))
y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))
参考资料来源：百度百科-二重积分
参考资料来源：百度百科-心型线
如图。。。
公式在上大书上p309
