Question

y''=y'+x，求此微分方程通解，要过程

Answer 1

先解这个微分方程的特征方程的解：
y" = d(y')/dx = y'
d(y')/y' = dx
两边同时积分，得到：
ln(y') = x + c
y' = e^c * e^x = Y * e^x
当 Y 也为 x 的函数时，则有：
y" = d(y')/dx = dY/dx * e^x + Y * e^x = y' + dY/dx * e^x
代入原微分方程，得到：
dY/dx * e^x = x
则：
dY = x * e^(-x) dx
两边同时积分，得到：
Y = x * [-e^(-x)] + ∫e^(-x) dx
= -x * e^(-x) - e^(-x) + C1
= -(x+1) * e^(-x) + C1
那么：
y' = dy/dx = Y * e^x = -(x+1) + C1 * e^x
dy = -(x+1)dx + C1 * e^x * dx
两边同时积分，得到：
y = -1/2 * (x+1)² + C1 * e^x + C2

Answer 2

y''=y'+x
y''-y'=x

两边乘以 e^(-x)
e^(-x).(y''-y')=x.e^(-x)
d/dx [ y'.e^(-x)] =x.e^(-x)
y'.e^(-x)
= ∫x.e^(-x) dx
=-∫x de^(-x)
=-xe^(-x) +∫e^(-x) dx
=-xe^(-x) - e^(-x) +C1
y'=-x - 1 +C1.e^x
y= -(1/2)x^2 - x + C1.e^x + C2