Question

为什么y=f(x-a)与y=f(b-x)关于x=a+b/2对称

能不能直接证明而不是带入

Answer 1

x=k为对称轴是指，若x1+x2=2k,则f(x1)=f(x2),
即对任意的x，有f(x)=f(2k-x).
因为f(x-a)=f[2*(a+b)/2-(x-a)]=f(b-x)
故y=f(x-a)与y=f(b-x)关于x=（a+b）/2对称

Answer 2

【函数的对称性定理】：
1、若函数y=f(x)关于原点(0，0)对称，则f(-x)=-f(x)或f(x)+f(-x)=0，反之亦成立；

2、若函数y=f(x)关于直线x=a对称(关于x轴对称)，则：f(a+x)=f(a-x)，反之亦成立；
若函数y=f(x)关于直线x=0对称，则：f(x)=f(-x)，反之亦成立；

3、若函数y=f(x)和y=g(x)关于直线y=b对称(关于y轴对称)，则：f(x)+g(x)=2b，反之亦成立；
若函数y=f(x)和y=g(x)关于直线y=0对称，则：f(x)=-g(x)，反之亦成立；

4、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2 对称，反之亦成立；

5、若函数y=f(x)图像是关于直线A(a,b)对称，则充要条件是：f(x)+f(2a-x)=2b，反之亦成立；

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上述定理4与楼主命题相似，那么，下面介绍这个定理的证明：
若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2 对称
证明：
设y=f(x)上的任意点P(x1，y1)，则y1=f(x1)，点P(x1，y1)关于直线x=(a+b)/2的对称点为P'
∵ y=f(x)上的任意点P(x1，y1)关于直线x=(a+b)/2的对称点为P'
∴ 根据点关于直线对称的公式得到
P'横坐标(x轴)：(xp'-x1)/2=(a+b)/2 则xp'=a+b-x1
P'纵坐标(y轴)：yp'=y1，纵坐标相等；
即：点P(x1，y1)关于直线x=(a+b)/2的对称点为P'(a+b-x1，y1)
∴ f(xp')=f(a+b-x1)=f[a+(b-x1)]
令x=b-x1；则f(xp')转换成
∴ f(xp')=f(a+b-x1)=f[a+(b-x1)]=f(a+x)
∵ f(a+x)=f(b-x)
f(xp')=f(a+x)=f(b-x)，
再把x=b-x1代入其中，得到：
f(xp')=f(a+b-x1)=f[a+(b-x1)]=f(a+x)=f(b-x)
=f[b-(b-x1)] 【把x=b-x1代入其中】
=f(x1)
=y1
也就是：
f(xp')=f(x1)=y1

∴ P'(a+b-x1，y1)也在函数y=f(x)上。

∵ P(x1，y1)是函数y=f(x)图上向的任意一点。
∴ 函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。

楼主的的题目是：f(x-a)=f(b-x)函数图像为什么关于直线x=a+b/2
这个命题是错误的，原因如下：
若函数y=f(x)，满足f(x-a)=f(b-x)，求其对称直线为：
f(x-a)=f(b-x)等价与f(-a+x)=f(b-x)
【若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2 对称】
那么，函数y=f(x)，满足f(x-a)=f(b-x)，求其对称直线为：
x=(-a+b)/2