Question

设A为n阶正定矩阵，证明A+E的行列式大于1．

Answer 1

【答案】：∵A正定，存在正交阵Q，使得
Q^TAQ=diag(λ₁，…，λ_n)
其中λ_i是A的特征值，且λ_i＞0(i=1，2，…，n)，则
Q^T(A+E)Q=Q^TAQ+Q^TQ=diag(λ₁，…，λ_n)+E=diag(λ₁+1，…，λ_n+1)
两边取行列式
|Q^T||A+E||Q|=|A+E||Q^TQ|=(λ₁+1)…(λ_n+1)
即|A+E|=(λ₁+1)…(λ_n+1)＞1