Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E点F在AC的延长线上,且∠CBF=1/2∠CAB.

1.求证：直线BF是⊙O的切线
2.若AB=5，sin∠CBF=五分之根号五，求BC和BF的长

Answer 1

1）连AE,
因为AB为直径
所以∠AEB=90
因为AB=AC
所以∠BAE=∠CAE=（1/2）∠BAC(三线合一)
因为∠CBF=(1/2)∠BAC
所以∠CBF=∠BAE
因为∠BAE+∠ABE=90
所以∠ABE+∠CBF=90
因为B在圆上
所以直线BF是⊙O的切线
2）因为∠CBF=∠BAE
所以sin∠CBF=sin∠BAE=BE/AB=BE/5
所以BE=5×√5/5=√5
所以BC=2BE=2√5

在直角三角形ABE中，由勾股定理，得AE=2√5
由△ABC面积不变，得，
AC×BD=BC×AE,
即5BD=2√5*2√5
解得BD=4,
在直角三角形ABD中，由勾股定理，得AD=3,
由∠ADB=∠ABF=90,∠BAD为公共角
得△ABD∽△AFB,，
所以BD/FB=AD/AB
即4/BF=3/5
即得BF=20/3

Answer 2

解:（1）连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．(∠1=∠EAB,．∠2=∠ABE)
∵AB=AC，
∴∠1= 1/2∠CAB．
∵∠CBF= 1/2∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）过点C作CG⊥AB于点G．
∵sin∠CBF= √5/5，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= √5/5
∵∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1= √5，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2 √5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=2√ 5，
∴sin∠2= 2√5/5，cos∠2= √5/5，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴ GC/BF=AG/AB
∴BF= GC•AB/AG= 20/3

Answer 3

证明：
连接AD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AEDB四点共圆
∴∠CED=∠B
∴∠C=∠CED
∴DE=DC
∵⊿ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，根据三线合一，AD是中垂线
∴BD=DC，即BC=2DC
∴BC=2DE

Answer 4

证明：
连AD,交OP于点Q
（1）∵以AB为直径的圆O交BC于点D
∴∠ADB=90º,即AD⊥BC
∵AB=AC,∠A=30°
∴∠ABC=∠ACB=75°；AD是等腰三角形底边上的高,AD也是BC的中线,即BD=CD
（2）∵以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E
∴∠ABC+∠AED=180º，∠CED+∠AED=180º
∴∠ABC=∠CED
∴∠CDE=180º-∠CED-∠ACB=180º-75º-75º=30º
∵BP∥DE
∴∠CBP=∠CDE=30º
∴∠OBP=∠ABC-∠CBP=75º-30º=45º
∵OB=OP
∴∠OPB=45º
∴∠BOP=180º-∠OBP-∠OPB=180º-45º-45º=90º
(3)∵AD是等腰三角形底边上的高,AD也是角平分线,即∠BAD=∠CAD
∵∠A=30°,∠BOP=90º
∴∠PAQ=30º=∠CBP ①
∵∠BOP=90º,OA=OB
∴PA=PA ②
∵AQ=OA/cos∠A/2=AB/(2cos15º),BC=2BD=2ABsin∠A/2=2ABsin15º
∵2sin15º*2cos15º=2sin30º=1即2sin15º=1/(2cos15º)
∴AQ=BC ③
∴由①②③得△PAQ≌△PBC
∴∠BPC=∠APQ=45º
∴∠OPC=∠OPB+∠BPC=45º+45º=90º
∴CP是圆O的切线