Question

用定义证明，函数f(x)=x+1/x在x属于【1，正无穷大）上是增函数

Answer 1

解：f(x)＝x+1/x在（1，+∞）上是增函数
证明如下：
令x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，即：1＜x1＜x2
故：x1-x2＜0，x1•x2＞1，x1•x2＞0
故：x1•x2-1＞0
故：f(x1)-f(x2)= x1+1/x1-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1•x2)
=(x1-x2) •[1-1/(x1•x2)]
=(x1-x2) •[(x1•x2-1)/(x1•x2)] ＜0
故：f(x1) ＜f(x2)
故：f(x)＝x+1/x在（1，+∞）上是增函数

Answer 2

x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)
=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1²x2-x1x2²+x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(x1x2-1)/x1x2

x1>x2>=1
所以x1-x2>0
x1x2>1则x1x2-1>0
x1x2>0
所以f(x1)-f(x2)>0
即x1>x2>=1时f(x1)>f(x2)
所以是增函数

Answer 3

当X=1时。X=1/X
∵ x‘=1、(1/x)'= -1/x^2
当X>=1时 |-1/x^2|<=|1 |。已知f(X)=f(x1)+f(x2)=X+1/X
∴f（X）在x∈【1,正无穷大）时为增函数