Question

已知定义在R上的奇函数f(x)=(-2^x+b)/[2^(x+1)+a]

1)求a、b的值
2)若不等式-m^2+(k+2)m-3/2<f(x)<m^2+2km+5/2对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围
3）若函数g(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当X∈（-1,1）时，g(x)=f(x)-x,求方程g(X)=0的所有解。

Answer 1

你好！
解：
因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0 （这不是说特殊值哦，而是根据奇函数的定义得知的）
即(b-1)/(a+2)=0
则 b=1

因为 f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)
即(b-1/2)/(a+1)=-(b-2)/(a+4)
1/[2(a+1)]=1/(a+4)
2(a+1)=a+4
则a=2

综上：a=2,b=1

或者用下面的方法
对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a•2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a•2^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2,
a(2^x-1)= 2(2^x-1)
所以a=2.