Question

已知定义在R上的函数f（x）=2*x+a/2*x，a为常数。 （1）如果f（x）满足f（-x）=f（x），求a的值。

已知定义在R上的函数f（x）=2*x+a/2*x，a为常数。
（1）如果f（x）满足f（-x）=f（x），求a的值。
（2）当f（x）满足（1）时，用单调性定义判断f（x）在【0，+∞】上的单调性。

Answer 1

f(-x)=2^-x+a/2^-x=1/2^x+a*2^x=f(x)=2^x+a/2^x
所以a=1
f(x)=2^x+1/2^x=(2^2x+1)/2^x

若a>b>0
f(a)-f(b)=(2^2a+1)/2^a-(2^2b+1)/2^b
=(2^2a*2^b+2^b-2^2b*2^a-2^a)/2^a*2^b
分母显然大于0
分子=2^2a*2^b+2^b-2^2b*2^a-2^a
=2^a*2^b(2^a-2^b)-(2^a-2^b)
=(2^a-2^b)(2^a*2^b-1)
a>b,所以2^a>2^b
a>0,b>0
所以2^a>1,2^b>1
2^a*2^b>1
所以分子大于0
所以a>b>0,f(a)>f(b)
所以x>0,f(x)是增函数

若0>a>b
则f(a)-f(b)=(2^a-2^b)(2^a*2^b-1)/2^a*2^b
此时a<0,b<0,0<2^a<1,0<2^b<1
所以2^a*2^b<1,其他仍大于0
所以f(a)<f(b),是减函数

所以x>0,增，x<0,减

Answer 2

1）满足f(-x)=f(x),为偶函数∴f(-1)=f(1), 1/2+2a=2+a/2, (2-1/2)a=2-1/2, a=1
2) f'(x)=ln2*2^x-ln2/2^x=ln2(2^x-1/2^x)
在[0,＋∞)上，2^x≥1, 2^x-1/2^x>0, f'(x)>0，∴f(x)在[0,＋∞)上单调递增
猜想f(x)在(－∞,0]上单调递减