Question

∫(0,π) f(sinx) dx＝？

Answer 1

因为∫(0, π)f(sinx)dx＝∫(0, π/2)f(sinx)dx＋∫(π/2, π)f(sinx)dx。对于第二个积分，令x＝π-t, 则∫(π/2, π)f(sinx)dx＝∫(π/2, 0)f(sint)(-dt)＝∫(0, π/2)f(sint)dt＝∫(0, π/2)f(sinx)dx。所以∫(0, π)f(sinx)dx＝2∫(0, π/2)f(sinx)dx。

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。