Question

lim[{根号(n^2+an)}-(bn+1)]=b,求a

Answer 1

已知：lim[√(n^2+a*n)-(b*n+1)]=b，求a。

解：
因为
√(n^2+a*n)-(b*n+1)
=[√(n^2+a*n)^2-(b*n+1)^2]/[√(n^2+a*n)+(b*n+1)]（分子有理化）
=[(n^2+a*n)-(b*n+1)^2]/[√(n^2+a*n)+b*n+1]
=[(1-b^2)*n^2+(a-2b)*n-1]/[√(n^2+a*n)+b*n+1]
=[(1-b^2)*n+(a-2b)-1/n]/[√(1+a/n)+b+1/n]
当n→∞时，分母[√(1+a/n)+b+1/n]→1+b。
若(1-b^2)≠0，则分子发散（或者说极限不存在），原分式的极限也不存在，矛盾，故(1-b^2)=0，即b=±1。
此时分子的极限为(a-2b)。
若b=-1，则√(n^2+a*n)-(b*n+1)=√(n^2+a*n)+n-1，极限显然不存在，故b≠-1。故b=1。（不能直接由分母的极限为b+1根据分母不能为0判断b≠-1，因为分子的极限是a-2b，如果a=2b，则分子极限为0，当b=-1时，分式为0/0型，不能直接判断极限是否存在）
故有(a-2b)/(b+1)=b，b=1，解之，a=4。

Answer 2

lim[√(n^2+an)-(bn+1)]=b (应该是n→∞)
将分式的分子分母同乘以[√(n^2+an)+(bn+1)]得
lim{[(n^2+an)-(bn+1)^2]/[√(n^2+an)+(bn+1)]}=b　即
lim{[(1-b^2)*n^2+(a-2b)n-1]/[√(n^2+an)+(bn+1)]}=b　
∵分子最高次为二次，分母最高次为一次，
∴有(1-b^2)＝0，即b=±1，
当b=-1时，左式为lim[√(n^2+an)+n-1)]=-1，
但此时lim[√(n^2+an)+n-1)]不存在，或趋于∞，∴b=1
所以 lim{[(a-2)n-1]/[√(n^2+an)+(n+1)]}=1，
将分式的分子分母同除以n得
lim{[(a-2)-1/n]/[√(1+a/n)+(1+1/n)]}=1，即
[(a-2)-0]/[√(1+0)+(1+0)]}=1
∴a=4

Answer 3

题目不是很清楚，少了条件。