Question

(3) y"-4y`+4y=x^2

Answer 1

问：(3) y"-4y`+4y=x^2

答：亲亲，很荣幸为您解答，zui终的通解为：y=y_h+y_p=(C1+C2x)e^(2x)+(1/4)x^2+(1/2)x+1/8其中C1和C2是任意常数。

答：拓展：这是一个二阶常系数齐次线xing微分方程，可以写成标准形式为：y''-4y'+4y=x^2其中y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数。为了求解这个微分方程，我们可以先求解对应的齐次方程：y''-4y'+4y=0齐次方程的特征方程为：r^2-4r+4=0解这个特征方程得到重根r=2，因此齐次方程的通解为：y_h=(C1+C2x)e^(2x)其中C1和C2是任意常数。

答：接下来，我们可以使用常数变易法来求解非齐次方程。假设非齐次方程的特解为y_p=Ax^2+Bx+C，代入原方程得到：2A-4(2Ax+B)+4(Ax^2+Bx+C)=x^2整理得到：(4A-4C)x^2+(4B-8A)x+(2A-4B+4C)=x^2比较系数得到以下方程组：4A-4C=14B-8A=02A-4B+4C=0解这个方程组得到A=1/4，B=1/2，C=1/8。

答：因此，非齐次方程的一个特解为：y_p=(1/4)x^2+(1/2)x+1/8zui终的通解为：y=y_h+y_p=(C1+C2x)e^(2x)+(1/4)x^2+(1/2)x+1/8其中C1和C2是任意常数。