Question

如图在三角形ABC中∠C=90度AC=3BC=4O为BC边上一点以O为圆心OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D，E，连

接DE
【1】当BD=3时求DE长
【2】过点E作半圆O的切线，与AC边相交时设交点为F求证三角形FAE是等腰三角形

Answer 1

1)因为AD为直径
所以∠ADE=90,
因为∠BCA=90,
所以∠ADE=∠BCA,
又∠DBE=∠ABC
所以△DBE∽△ABC
所以DE/AC=BD/AB
在直角三角形ABC中，由勾股定理，得AB=5
即DE/3=3/5
解得DE=9/5
2)连OE,
因为EF为圆的切线
所以∠DEF=∠ABC(弦切角定理)
因为∠AED=∠BED=90
所以∠DEF+∠AEF=90,
所以∠AEF+∠ABC=90°
因为∠ACB=90
所以∠A+∠ABC=90
所以∠A=∠AEF
所以EF=FA
即FAE是等腰三角形

Answer 2

DE的长是9/5,利用相似来计算，证明的话利用直角三角形的性质