Question

函数f(x)=lnx-[a(x-1)]/x (x>0,a∈R) . 求f(x)的单调区间。[要详解 在线等]

Answer 1

解：f(x)=lnx-[a(x-1)]/x=lnx-a+a/x (x>0,a∈R)
f'(x)=1/x-a/x^2=1/x*(1-a/x)
若a≤0，f'(x)=1/x-a/x^2=1/x*(1-a/x)>0，故f(x)在定义域x>0范围内单调递增。也即此时单调递增区间为(0,+∞)；
若a>0，令f'(x)=0，解得x=a，故：
当0<x≤a时，f'(x)=1/x*(1-a/x)≤0，故f(x)单调递减。也即此时f(x)的单调递减区间为(0,a]；
当x>a时，f'(x)=1/x*(1-a/x)>0，故f(x)单调递增。也即此时f(x)的单调递增区间为(a,+∞)。

Answer 2

解：1、AP==AC-DC=Lcosθ-2,MA=AF/sinθ=1/sinθ,故MP=MA+AP=1/sinθ+Lcosθ-2
而MP=DP/tanθ=2cotθ，故有1/sinθ+Lcosθ-2=2cotθ，解得
L=(2cotθ+2-1/sinθ)/cosθ=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)
2、令f(θ)==(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)，显然需求出对所有的0≤θ≤90°的f(θ)的最小值，只要L不超过该最小值，就可以顺利通过。
f(θ)=(2cosθ+2sinθ-1)/(sinθcosθ)=2(2cosθ+2sinθ-1)/(1+2sinθcosθ-1)
=[4(cosθ+sinθ)-2]/[(cosθ+sinθ)^2-1]=4(cosθ+sinθ-1/2)/[(cosθ+sinθ-1/2)^2+(cosθ+sinθ-1/2)-3/4]
=4/[(cosθ+sinθ-1/2)+1-3/4*1/(cosθ+sinθ-1/2)]
由于1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+45°)≤√2，故cosθ+sinθ-1/2≥1/2>0，故f(θ)随着cosθ+sinθ-1/2的增大而严格单调减小，则其最小值必为θ=45°时L的大小。于是
L≤f(45°)=(2cos45°+2sin45°-1)/(sin45°cos45°)=4√2-2≈3.657