Question

已知，如图锐角三角形ABC内接于O，∠ABC=45°，点D是圆O上一点，过点D的切线DE交AC的延

且DE平行于BC，连接AD,BD,BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F，求证△ABD相似于△ADE

Answer 1

证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.(同弧所对的圆周角相等)
∴∠AED=∠ADB.(等量代换)-------------------------------------------------(1)
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.(弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角)----------------(2)
∴⊿ABD∽⊿ADE.

(注:若没学过弦切角定理,在证∠ADE=∠ABD时可以按如下过程来写.
连接DO并延长交圆O于M,连接AM.DM为直径,则∠MAD=90°,∠AMD+∠ADM=90°;
又DE为切线,则OD垂直于DE,∠ADE+∠ADM=90°.
∴∠ADE=∠AMD;又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.)

Answer 2

∵DE切圆O于D,
∴∠ADE=∠ABD=弧ACD度数的一半，
又DE∥BC,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BAD=∠EAD,
∴△ABD∽△ADE.

Answer 3

证明:∵BC平行DE.
∴∠AED=∠ACB;
又∠ADB=∠ACB.
∴∠AED=∠ADB
∵DE与圆相切.
∴∠ADE=∠ABD.
∴⊿ABD∽⊿ADE.