Question

数学中比的故事

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Answer 1

集合论中悖论的发现，以及意识到其他经典数学中也可能存在悖论，使数学家们开始认
真对待相容性问题了。由于选择公理的任意使用，就提出了这样一个问题，即数学中的
存在意味着什么，而且这一问题备受瞩目。真正的无限集是不是一个合理的概念？在重
构数学基础和开创新的数学分支时，越来越多地使用无穷集合将这个古老的争议重新提
到人们面前，而19世纪后期的公理化运动并没有涉及这个问题。

然而，并不是这些问题和前一章中所述问题，使得数学家们重新对正确的数学基础这一
问题做全面的考虑，这些问题使原来已经冒了烟的观点分歧，变成了白热化的争议。一
些新的带根本性的数学方法，早在1900年之前就被提出来，并在一定程度上给予了仔细
的探讨，但它们并未受到人们的注意，大多数数学家没有认真地对待它们。本世纪最初
的十年中，数学巨人之间为关于数学基础的新数学方法而爆发了一场战争，他们分裂为
两个对立的阵营，并向对方宣战。

逻辑派是这些派别中的一个，其论点简言之，就是所有的数学都可由逻辑推导出来。在2
0世纪初，几乎所有的数学家都认为逻辑法则是一个真理体系。因此，逻辑学家们断言，
数学也一定是一个真理体系，而且由于真理是相容的，因而他们说，数学也一定是相容
的。

像所有的创新一样，这一论点在得到明确的形式和广泛的注意之前，许多人对它做出了
贡献。数学可由逻辑推出这一观点，可以上溯到莱布尼茨。莱布尼茨区分了理性真理（
或必然真理）和事实真理（或称偶然真理）（见第八章），莱布尼茨在写给朋友科斯特
的一封信中解释了这一区别。一个真理是必然的，若它的否定蕴涵着矛盾；如果一个真
理不是必然的，就称它是偶然的。上帝是存在的，所有的直角都相等，这些都是必然真
理。而我本人是存在的，自然界中存在着某种物体，它有一个恰为90°的角，这些则是
偶然真理，它们可能正确，也可能不正确。因为整个宇宙都可能是另一种结构，而上帝
从无数的可能结构中选出了他认为最为合适的。数学真理是必然真理，所以它们一定是
可由逻辑推出的，而逻辑的规则也是必然真理，而且在任何可能的世界体系中都是正确
的。

莱布尼茨没有将由逻辑推出数学这一工作继续下去，在差不多200年的时间里，其他持有
相同见解的人也没有做这件事，例如，戴德金直截了当地肯定，数不是由时间和空间的
感觉得来，而是“一种纯粹思维规律的直接产物”。有了数，我们才有时间和空间的精
确概念。他开始发展这一论点，但也没有继续下去。

最后，受戴德金的影响，弗雷格发展了逻辑派的理论，他对数理逻辑的发展做出了很大
贡献。弗雷格相信，数学和法则是解析的，它们是蕴含在逻辑原理中的。而逻辑原理是
先验真理，数学定理及其证明说明了什么是蕴含，并不是数学全部都能用于现实世界，
但它当然是包含了理性真理的。弗雷格在《概念演算》（1879年）中，在明确表述的公
理之上构筑了逻辑学。此后在他的《算术基础》（1884年）和两卷著作《算术的基本法
则》（1893年，1903年）中继续从逻辑前提出发，推导算术的概念和数的定义及规律。
从数的规律出发，就有可能推出代数，分析甚至几何，因为解析几何是从代数形式来表
述几何的概念和性质。不幸的是，弗雷格的符号体系对数学家们来说太复杂、太生疏了
，因此他的工作，在当时并没有什么影响。有一个具有讽刺意味的故事。1902年正当《
算术的基本法则》第二卷要付印的时候，他接到罗素的一封信，罗素说他的工作涉及了
“所有集合的集合”这一概念，但这是会导出矛盾的。弗雷格于是在第二卷的结尾写道
：“一个科学家再不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成的时候，它的基础垮掉
了。当这部著作只等付印的时候，罗素先生的一封信，就使我陷入这种境地。”在他写
这部著作的时候，弗雷格并不知道悖论已经被提出来了。

罗素独立地构想出了同样的计划，在他进一步发展它的时候，他发现了弗雷格的工作。
罗素在他的自传（1951年）中说，他也受到皮亚诺的影响，后者是他1900年在第二届国
际数学家大会时遇到的：

这次大会是我的精神生活的一个转折点，因为在那里我遇见了皮亚诺。在此之前，我已
听说过他的名字，也知道他的一些工作。我突然明白了，他的符号提供了我多年来一直
试图寻找的分析的工具，而且，从他那里我获得了一直以来想要从事的工作的一种新的
有效的技术。

在《数学原理》（第一版，1903年）中，他进一步写道：“所有的数学都是符号逻辑这
一事实是我们这个时代最伟大的发现之一……”

在本世纪之初，罗素和弗雷格一样，相信如果数学的基本定理能由逻辑推出，则由于逻
辑一定是个真理体系，那么这些定理也是真理，相容性的问题也将得到解决。在《我的
哲学发展》（1959年）中，罗素说，他试图得到“一种完美的数学，它是无可质疑的”
。

罗素当然知道皮亚诺从有关整数的公理推出了实数，也知道希尔伯特为整个实数系统给
出了一个公理集。然而在《数学哲学导言》（1919年）中，他提到了有点类似于戴德金
的一种策略：“我们所需要的这种假设方法有很多优点；正如窃取总是比诚实劳作来得
快一样。”罗素真正关心的是十或十五条关于数的公理的假设并不能保证这些公理的相
容性与真实性。正如他所说的，这一假设毫无必要地增加了未来之旅的难度。而在本世
纪初，罗素还确信逻辑原理是真理因而是相容的，怀特海（Whitehead）则在1907年提醒
道：“不可能有关于逻辑前提本身的相容性的形式的证明。”

在许多年里，罗素一直相信，逻辑原理和数学知识的实体是独立于任何精神而存在并且
仅为精神所感知的。这种知识是客观的，永恒的，这一立场在他1912年的著作《哲学的
问题》中给予了明确的阐述。

在真理问题上，罗素的意图是要走得比弗雷格更远。年轻时他相信数学揭示了现实世界
的真理，然而，在欧氏几何和非欧几何（它们都与现实世界相吻合（见第四章）却彼此
不相容）中，他却不能肯定，哪一个是真的。在《关于几何基础的随笔》（1898年）中
，他确实找到了一些他认为是客观真理的数学法则，例如物理空间一定是齐次的，即在
任何地方都具有相同性质。然而，一定存在一个客观的真实世界，我们能够得到关于它
的正确知识，对比之下，空间的三维性则只是一个经验事实。因此罗素试图寻找具有客
观真实性的数学规律，而这些规律应是可由逻辑公理推出来的。

在1903年的《原理》中罗素强调了关于数学的客观真理性的立场，他说：“一切关于实
际存在的命题，例如，我们生活其中的空间，都来自于实验或经验科学，而不是数学。
当它们属于应用数学时，它们是通过纯数学的一个命题中的一个或多个变量赋以常数值
而得到的……。”甚至在这一版中，他仍然相信一些基本的客观真理存在于由逻辑推出
的数学中。对于怀疑论者没有绝对真理的观点，罗素回击道，“数学对于这样的怀疑主
义，将永远责难它们，因为真理的殿堂巍然耸立，不会因为任何怀疑的讥讽而有所减损
”。

罗素在他的《原理》中概要说明的思想在怀特海和罗素的详尽著作《数学原理》（共3卷
，第一版1910～1913年）中得到了发展，由于这部著作是逻辑派立场的权威性论述，我
们的说明将以此为本。

这个学派从逻辑本身的展开出发，谨慎地提出一些逻辑的公理，由此推出定理，它们可
以用于以后的推理。和任何公理化理论一样（见第十二章），这个展开是从一些不定义
的概念开始的，这些不定义的概念中有：基本命题的概念，肯定基本命题的真，一个命
题的否定，二个命题的析取，以及命题函数的概念。

罗素和怀特海解释了这些概念，虽然正如他们指出的，这种解释并不是逻辑展开的一部
分，他们所谓的命题和命题函数实际上是皮尔斯已介绍过的。例如：“约翰是人”是一
个命题，而x是人，则是一个命题函数。一个命题的否定是指：“这个命题成立不是真的
”。因此，如果用p表示“约翰是人”这个命题，那么p的否定（记作～p）是指“约翰是
人不真”或“约翰不是人”。两个命题p与q的合取记作p·q，是指p与q都必须为真；两
个命题p与q的析取记作p∨q，是指p或q为真。这是“或”的意思，正如“男人或女人都
可申请”中说的，即男人可以申请，女人可以申请，或者两者都可申请。“那个人是男
人或女人”这句话中，“或”具有更一般的意义，即非此即彼，不能两全。在数学中按
第一个意思来用“或”这个词，虽然有时只有第二种意思是可能的。例如：三角形是等
腰的或四边形是平行四边形”说的是第一个意思。我们也说一个数必为正的或负的，而
关于正数和负数的一些事实说明二者不能都是真的。因此在《原理》中，肯定p或q就是
指p并且q都是真的，或者p不真而q真，或p真而q不真。

在命题之间最重要的一种关系是蕴涵，即一个命题的真强制着另一个命题的真。在《数
学原理》中，定义了蕴涵，记为é，它与弗雷格的实质蕴涵（见第八章）意义相同，即p
éq就是若p为真，则q必真；而若p为假，则不论q为真或假都有péq，即一个假命题蕴涵
任意命题，蕴涵的这一定义至少与可能发生的事是相容的。因此，若a是偶数为真，则2a
必为偶数，而若a是偶数为假，则2a可能为偶数或者（当a是分数时）2a可能不是偶数，
由假命题，a为偶数两个结论都可得到。

当然，必须要有逻辑公理才能推导定理，其中的一些是：

A．一个真的基本命题所蕴涵的命题是真的。

B．(p∨p)ép．

C．qé(p∨q)

D．(p∨q)é(q∨p)

E．p∨(q∨r)éq∨(p∨r)

F．由p的肯定和péq的肯定可得q的肯定。作者们由这些公理出发推导出逻辑的定理。

为说明逻辑本身已形式化，并成为演绎的推理手段，我们来看一下数学《原理》开头的
几个定理。一个定理是，假设p蕴涵p不真，则p不真，这就是归谬原理。另一个定理是，
若q蕴涵r，那么就有若p蕴涵q，则p蕴涵r（这是亚里士多德三段论的一种形式）。一个
基本定理是排中律：对于任意命题p，p是真的或是假的。

在建立起命题逻辑之后，两位作者开始处理命题函数，它们实际上表示的是类或者集合
，因为命题函数用性质来描述集合，而不用把集合中的元素指点出来，例如，命题函数
，“x是红的”这个命题函数就表示所有红色的物体组成的集合。

罗素和怀特海当然希望能够避免由于定义一个包含自身在内作为一个元素的集合而引起
的错误。他们解决这个困难的办法是要求，“任何牵涉着一个集合的所有元素的东西，
都不能成为这个集合的元素”。为了在《数学原理》中实现这一制约，他们引入了层次
理论。

层次理论是复杂的，但其思想是简单的。个体（例如约翰或某一本书）是层次0。关于个
体的性质的断言，是层次1，关于个体性质的命题，则是层次2，每一个断言都比它所描
述的低层的事物层次为高。用集合的术语来说，层次理论说的是个体元素的层次为0；个
体的一个集合层次为1；许多个集合组成的一个集合层次为2；依此类推。这样如果说a属
于b，则b的层次一定比a高，同样，不能说一个集合属于它本身，当把层次理论回到命题
函数上时，情况变得略为复杂一些。命题函数不能由这个函数本身定义的东西作为变元
（变量的值），因此函数就比其变量的层次要高。基于这一理论，两位作者，讨论了当
时的悖论，并且说明层次理论避开了悖论。

层次理论可以避免矛盾的优点用一个非数学的例子可以更清楚地说明。我们来考虑“凡
是规则都有例外”这一叙述引起的矛盾（见第九章），这一叙述是关于“任何书都有印
刷错误”这样的特定的规则的，而关于所有规则的陈述，通常被解释为若用于它本身则
导出了矛盾，即存在没有例外的规则。在层次理论中，一般规则具有更高的层次，因此
，它关于特定的规则的陈述不能用于自己，从而一般规则不一定有例外。

类似地，“它谓”悖论，将那些不能用于自身的词定义为它谓的——是所有它谓的词的
一个总的定义，因此，它比任何一个它谓的词层次都高。所以不能问一个它谓的词本身
是不是它谓的。但可以问一个特定的词，比如，短的是不是它谓的。

说谎者悖论也可以通过层次理论得到解决，正如罗素所指出的，陈述句“我正在说谎”
是指“我正在肯定一个命题，而它是假的”，或“我肯定一个命题p而p是假的”。若p是
第n层的，则关于p的断言，层次是高于n的，因此，若关于p的断言是真的，则p本身就是
假的；而若关于p的断言是假的，则p本身就是真的，但这里并不存在矛盾。用同样的方
法，还能解决理查德悖论。所有这些都涉及到一个关于低层断言的层次更高的断言。

很明显，层次理论需要对语句仔细地按层次加以区别。然而，要想按层次理论来建立数
学，开展起来将极为复杂。例如：在《原理》中，两个东西a和b相等，是指如果对b适用
或b成立的每一命题或命题函数，都对a成立，反之亦然。但是这许许多多的断言是不同
层次的，因而相等这一概念，就相当复杂。类似的，由于无理数是用有理数定义的，而
有理数是用正整数来定义的。无理数比有理数有更高的层次，它们都比整数的层次类型
高，因此，实数系由不同层次的成分构成，于是不能得出关于所有实数的定理，而必须
对每个层次的数分别陈述，因为适用于一个层次的定理，不能自动地适用于其他层次。

层次理论带来的另一复杂命题是关于有界实数集的最小上界的概念（见第九章）。最小
上界定义为所有上界中最小的，因此，最小上界是用实数的集合来定义的，于是它一定
比实数层次高，而它本身不是实数。

为了避免这种复杂性，罗素和怀特海巧妙地引进了约化公理。命题的约化公理认为任何
较高层次的一个命题与一个层次为0的命题等价，命题函数的约化公理认为任何一元或二
元命题函数与一个层次为1，具有相同数目的变元（变元可以是任何层次的）的命题函数
是共存的。这一公理也为支持《原理》中使用的数学归纳法所需要。

在叙述了命题函数之后，两位作者就讲到关系理论，关系是通过两个或多个变量的命题
函数来表示的，这样“x爱y”就表示了一种关系。由关系理论得出用命题函数定义的明
确的类或集的理论，在此基础之上作者们将要引入自然数（正整数）的概念。

自然数的定义当然是有点意思的，它依赖于先前引入的类之间的一一对应关系。如果两
个类是一一对应的，则称其为相似的。所有相似的类，具有一个共同性质：它们的元素
个数相同，而且相似的类可以有多个共同的性质。罗素和怀特海在这一点所做的，正如
弗雷格做过的，是把一个类的元素个数定义为所有与之相似的类所组成的类。这样，3这
个数目就是所有的三元素类所组成的类，而三元素的记号是｛x，y，z｝，其中x≠y≠z
。因为数目的定义事先假定了一一对应的概念，看起来这个定义似乎是循环的，但是，
作者指出，一个关系是一一的，如果当x和x′都对y′有这个关系时， x与x′必是恒同
的，而当x对y和y′都有这个关系时，y与y′必是恒同的。因此，一一对应的概念，并未
牵涉到数目1。

有了自然数以后，就能建立起实数系和复数系、函数以及全部分析。几何可以通过数用
坐标和曲线方程来引进，然而，为了实现他们的目标，罗素和怀特海又引入了两条公理
。为了定义自然数（以命题函数的形式）以及更为复杂的有理数，无理数及超限数，怀
特海和罗素引进了无穷类存在的公理（类已由逻辑术语适当地定义）和层次理论所需的
选择公理（见第九章）。

这就是逻辑派的宏大计划，他们在逻辑上的工作有很多可说的，我们在这里只是一带而
过。我们必须着重指出的是，他们在数学上的工作，就是要把数学奠定在逻辑的基础上
，不需要任何数学公理，数学不过是逻辑的主题和规律的自然延展。

逻辑派的做法受到很多指责，约化公理激起了反对，因为它显得太任意了。尽管没有证
明说它是错的，可也缺乏证据说明它的正确性。它曾被说成是可喜的，意外的，而不是
逻辑必需的。拉姆赛尽管是支持逻辑派理论的，但他也用这样的话来指责其公理：“这
样的公理在数学中是没有位置的；任何不用它就不能证明的东西，根本就不能看成是得
到了证明”。另一些人说，这个公理是智力的廉价品。魏尔则明确宣布放弃这个公理。
有些评论称，这个公理重新引入了非断言定义。也许最重要的问题是它究竟是不是逻辑
的公理，以及由此提出的数学是建筑在逻辑基础之上这一论点是否确实可靠。

1909年彭加勒说：约化公理比数学归纳法更靠不住，更含糊不清，前者实际是用后者来
证明的，它是后者的另一种表现形式。但是数学归纳法是数学的一部分，是构筑数学大
厦必需的。因此，我们不能证明其相容性。

罗素和怀特海在《原理》第二卷第一版（1910年）中说明引入这一公理的理由是为了得
到某些特定结果。很明显地，他们为使用了这个公理而不安，这里是作者为它作的辩解
：

说到约化公理，既然它支持的推理和由它产生的结果，看起来都是合乎情理的，所以直
觉上它应该是正确的，然而尽管不大可能证明它是错误的，却也不大可能证明它是由一
些基本或更明显的公理推导出来的。

后来，罗素自己也很关心约化公理的使用，在他的《数学哲学导论》（1919年）中，罗
素说：

从严格的逻辑化来看，我找不出任何理由来相信约化公理是逻辑必然的，这就是说，它
在所有可能的世界中都是真的。因此，在逻辑体系中，承认这个公理是个缺憾，即使从
经验来看是真的。

在《原理》的第二卷第二版（1926年）中，罗素重新叙述了约化公理，但这产生了一些
新的困难。比如，不允许高阶无穷，省去了最小上界定理，并使得数学归纳法的使用更
为复杂。罗素再一次说明他希望能从更明显的公理中推导出约化公理，然而他又一次承
认其是逻辑的缺憾。罗素和怀特海在数学《原理》的第二版中一致认为，“这个公理有
着纯粹的实际的合理性，它导出想要的结果而不是其他。”他们也意识到它能导出正确
结论的事实并不是一个很有说服力的论据，因而做了各种尝试，把数学归结为不含约化
公理的逻辑。但他们并没有深入地探讨，而且有些作法被批评为引入了错误的证明。

对逻辑基础更多的批评，指向了无穷公理。批评的焦点在于，整个数学的结构根本上是
建立在这个公理的正确性之上，然而却没有丝毫理由来相信其真理性。更糟的是，根本
没有办法对其真理性做出判定。而且，它是不是个逻辑公理也还是个问题。

凭心而论，应该指出的是，罗素和怀特海对于将无穷公理作为逻辑公理也很踌躇，他们
被这个公理的内容具有“真实的外表”这一事实所困扰，困扰他们的不仅仅是它的逻辑
性，还有它的真实性。《数学原理》中术语“个体”的一种解释是构成宇宙的终极粒子
或元素，这样一来，尽管无穷公理是以逻辑术语表述的，它却似乎提出了这样一个问题
，即宇宙是否由有限个或无限个终极粒子构成的，这个问题或许物理学能够回答，但肯
定不是数学或逻辑学所能回答的。然而，如果引入无穷集，如果要证明用无穷公理推导
出来的数学定理是逻辑定理，似乎就必须将它作为一个逻辑公理来接受，简而言之，如
果将数学“归结”为逻辑，那么，逻辑似乎就一定要包含无穷公理。

罗素和怀特海，还使用了选择公理（见第九章），他们称之为乘法公理：给定一个不相
交类（互斥类）的类，且它们中没有空类，则存在一个类，恰由每个类中的一个元素组
成。我们知道，这个公理所引发的讨论和非议，比其他任何公理都多——除了欧几里得
的平行公理。罗素和怀特海为选择公理同样感到不安，他们不能说服自己把它和别的逻
辑公理同样地当作逻辑真理。然而，若将由这个公理推出的经典数学归结为逻辑，同样
也只有承认它是逻辑的一部分。

约化公理、无穷公理及选择公理的使用，对整个逻辑的观点，即数学可以从逻辑推导出
来，提出了质疑：逻辑与数学的区别在哪儿呢？逻辑派观点的拥护者说，《数学原理》
中所用的逻辑是“纯逻辑”或“纯化了的逻辑”；另一些人则对于三个有争议的公理耿
耿于怀，对所用的逻辑的“纯粹性”提出疑问，因此他们否认数学甚至数学的任何一个
重要分支已被归结为逻辑。有些人则愿意将逻辑一词的意义加以推广，使它能包含这些
公理。

罗素是坚定的逻辑派观点的捍卫者。有一个时期他为他和怀特海在《原理》第二卷第一
版中所做的一切作辩解，在《数学哲学导论》（1919年）中他说：

（数学和逻辑的）同一性的证明，当然是细节问题。从逻辑和数学共同接受的前提出发
，用演绎的方法得到显然是数学的结果，我们就会看出，不可能画出一条清晰的分界线
，其左边是逻辑，右边是数学。如果还有些人不肯承认数学和逻辑的同一性，我将提请
他指出，在《数学原理》的一系列定义和推导中，他们认为在哪儿是逻辑的结束，哪儿
是数学的开始。显然，任何答案都不可能是准确的。

考虑到20世纪初时关于康托尔的工作和选择公理以及有关无穷公理的非常尖锐的争论，
罗素和怀特海没有限定把这两个公理作为他们的整个系统的公理，而只是在特定定理中
用到了这两个公理（《数学哲学导论》1926年，第二版）。然而，有很大一部分经典数
学的推导必须用到它们，在《原理》第一卷的第二版（1937年）中，罗素已放弃了最早
的观点。他说：“什么是逻辑的原理，已经变得相当任意了”。无穷公理和选择公理“
只能通过经验来证实或否证”。不过，他仍然坚持逻辑和数学是统一体。

然而，批评并未就此中止，魏尔在《数学和自然科学的哲学》（1949年）中说，《原理
》中数学的基础

不仅仅是逻辑，还有一种逻辑学家的天堂，一个具有某种结构极为复杂的，“终极内涵
”的宇宙。……有哪个头脑现实的人会敢说他相信这个超自然的世界呢？……这个复杂
的结构对我们信仰力量的压制，并不亚于早期教会神父或中世纪经院哲学的教条。

还有一个关于逻辑主义的批评，尽管在《原理》的三卷中都没有发展几何学，但很清楚
，正如我们前面提到的，使用解析几何就可以做到这一点。不过，也有人指出说，《原
理》通过归约为自然数的公理集，就把算术、代数和分析归约为逻辑，但是数学的“非
算术”部分，例如几何、拓扑学和抽象代数，并没有归约为逻辑。这一观点被逻辑学家
卡尔·汉普尔(Carl Hempel)接受，他说：尽管在算术中可能“以纯逻辑概念的术语”给
未定义概念或原始概念赋以习惯的意义，“类似的过程却不能用于非算术派生的那些规
则中”。另一方面，逻辑学家奎因(Willard Van OrmanQuine)则认为“数学可以归约为
逻辑”。因为对几何来说，“一种约化为逻辑的方法唾手可得”，而且拓扑学和抽象代
数“符合逻辑的一般结构”。罗素本人则怀疑是否能单从逻辑推出所有的几何。

对于整个逻辑派的观点，还有一种严厉的批评。即：假如逻辑派的看法是正确的，那么
，全部数学就是一种纯形式的，逻辑演绎的科学。它的定理遵循思维的规律，而思维规
律所做的精巧的演绎，是如何表示广泛的自然现象，数的运用、空间几何、声学、电磁
学以及力学的，则似乎无法解释。魏尔就此讥讽逻辑派是从无到无。

彭加勒也同样对其认为是无意义的逻辑符号操作持批评态度。关于他的观点，我们在后
文中将给予更多的描述。在1906年的一篇随笔中（这时罗素和希尔伯特已经对他们的方
案给出了充分的描述），他说：

这门科学（数学）不必单只为了自己的缘故而永久地注视着自己的肚脐；它与自然相联
，而且必然会有回归自然的一天。那时必然要将这些纯语言的定义抛弃，而且不会再为
这些空洞的词语所蒙蔽。

在同一篇随笔中，彭加勒还说：

逻辑主义必须加以修正，而人们一点也不知道还有什么东西可以保留下来，毋需多说，
这里指的是康托尔主义和逻辑主义；真正的数学，总有它实用的目的，它会按照它自己
的原则不断地发展，而不理会外面狂烈的风暴，并且它将一步一步地去追寻它惯常的胜
利，这是一定的，并且永远不会停止。

另一种对逻辑派的严肃批评断言，在数学的创造中，感性的或想象的直觉必须提供新的
概念，而不管它是否来自于经验。否则的话，新的知识从哪里产生呢？但是在《原理》
中，所有的概念都归约为逻辑概念。形式化显然在任何实际意义下，都不能表示数学，
它只有外壳，没有内涵。罗素本人在另一场合曾说：数学是这样一门学科，在其中我们
永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。这就可以用来反驳
逻辑主义。

新的思想如何被引入数学？如果数学的内容可以全部由逻辑推出，那它怎么能用于现实
世界？对此并不容易回答，罗素和怀特海也没有给出回答。逻辑主义不能解释为什么数
学适用于物理世界这一论点被数学适用于基本物理原理这一事实反驳了。而这一点，只
要涉及到实在，就成了前提。数学技术勾画出物理原理的含义，譬如说PV=常数，F=ma。
这结论仍然适用于物理世界，这就产生了疑问：为什么世界符合数学推理呢？我们后面
将要回到这个问题上来（见第十五章）。

在《数学原理》第二版出版后的几年中，罗素继续考虑逻辑派的方案，在1959年的《我
的哲学发展》中他承认他的哲学发展，就是由逐步放弃“欧几里得主义”到尽可能地拯
救