Question

已知函数f(x)=2^(x+1),将函数f^(-1) x的图像向左平移两个单位

已知函数f(x)=2^(x+1),将函数f^(-1)x的图像向左平移2个单位再向上平移1个单位，就得到y=g（x）的图像
求：（1）写出y=g（x）的解析式；（2）求出F(x)=g（x^2)-f^(-1) x的最小值及取得最小值时x的值。

Answer 1

(1)因为f(x)=2^(x+1)，所以f^(-1)( x)=log2(x)-1，
将函数f^(-1)(x)的图像向左平移2个单位再向上平移1个单位，
得到y=g(x)=log2(x+2)。
(2)F(x)=g(x^2)-f^(-1)(x)
=log2(x^2+2)-log2(x)+1
=log2(x+2/x)+1
因为定义域(0，+∞)，即x>0，
所以x+2/x≥2√2，
因此log2(x+2/x)+1≥log2(2√2)+1=5/2，当且仅当x=2/x，即x=√2时等号成立。
故当x=√2时，F(x)取得最小值5/2。