Question

高等数学极限

我对于函数极限的形式定义(δε语言)不是十分理解,希望各位可以帮帮忙,我也尽量解释清楚,谢谢.
1.原来学的函数极限定义(趋向于有限值)是当x无限趋向于c时,若f(x)无限趋向于L,那么limf(x)(x->c)=L.形式定义则是:对于任意ε>0,总存在δ>0,当0＜/x-c/＜δ时，/f(x)-L/＜ε,那么limf(x)(x->c)=L.也就是f(x)可以无限趋向于L,即ε无限小;可是形式并没有规定x趋向于c,因为定义只说存在δ,而并没有说δ随着ε变小呀?形式定义是不是不完全呢?举个例子,给定一个ε,去一个很小的δ,满足那些条件;再取一个较小的ε,由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了,和原来的定义矛盾了.我是想问形式定义中哪里体现了x趋向c这个概念的.
2.在一些用形式定义证明极限的题中,答案总是给为"=min{,}",我不太明白为什么要去其中一个最小的值?
例:证lim(x^2-9)(x->3)=0
取δ=1,解得δ=min{1,ε/7}
为什么要去最小的呢?这个答案是当δ=1时的,当δ为其他值或者ε为任意实数时这个答案都成立么,为什么?

我数学不是很好,谢谢大家了.

Answer 1

1、你说的两种定义实际是一样的，前者是通俗的语言，后者是数学语言。任意ε>0,总存在δ>0,当0＜/x-c/＜δ，δ越小，x就越接近c，δ的大小决定x趋近c的程度，同理，/f(x)-L/＜ε，ε无限小，f(x)越接近L。“由于上一个δ很小,这一个δ可以取的稍大一些,同样也可以满足那些条件.这样一来f(x)趋向于L了,但x却远离c了”这是你理解的误区，δ的大小可以根据要求来调整，它是反映x趋近c的程度的，并没有与定义矛盾。
2、δ的大小可以根据要求来调整，它是反映x趋近c的程度的，这个你想通了，δ=min{1,ε/7} 就好理解了。静下来好好琢磨琢磨。