Question

平面几何问题

已知H是△ABC的垂心，D是BC边中点，过H的直线分别交AB,AC于E,F，且AE=AF，∠BAC的平分线交DH于G。求证:GE⊥AB。

Answer 1

贴图老是要审查好久……所以请LZ自行画图吧~

我想的纯几何方法并不复杂, 主要思想是面积法. 为简明起见, 用了同一法的叙述方式.

记P为AC边上高线垂足, Q为AB边上高线垂足.
设G'在角A的平分线上, G'E⊥AB. 延长HG'交BC与D', 往证D'为BC中点.

由面积共边定理可知: BD':CD'=S(BHG'):S(CHG'). 其中S(…)表示面积.
故欲证D'为BC中点, 只需证S(BHG')=S(CHG').

由G'E⊥AB及H为垂心, 知GE//CQ, 故S(CHG')=S(CHE).
由对称性可知G'F⊥AC, 故S(BHG')=S(BHF).
于是只要证S(BHF)=S(CHE), 即BH*PF=CH*QE.

易见∠AEF=∠AFE, ∠HBQ=∠HCP.
由相似三角形易知QE:PF=QH:PH=HB:HC, 正是所需！

Answer 2

三角证法行不？挺久没做平几了，纯几暂时还没想到，如图，

有个AH=2RcosA,这个倒角，再联系联系圆就可以出来，有些倒角过程省略，多多交流

追问

初中生不一定看得懂哦，谢谢你的回答，很有启发，我还是看重纯几何问题就纯几何来证明。

Answer 3

这应该是竞赛题吧……
楼主可以试试解析法……

追问

你这样回答不能解决问题，解析法运算繁琐，看起来头疼，纯几何证法看起来赏心悦目。

追答

那就有心无力了……

Answer 4

我坐了一天 还是无能为力啊 那位高人嫩做出来 偶拜他为师

Answer 5

作高CH，证GE//CH

追问

想法很好，可证这个和要证的没多大区别。

Answer 6

haha
做出来了等等

追问

你做了一天了怎么还不发出来？期待你的答案。