Question

如图所示,一条长为L的绝缘细线上端固定在O点,下端系一质量为m的小球，将它置于一个范围足够大的匀强电场中

该电场的场强为E，方向水平向右。已知小球在匀强电场中静止时，细线与竖直方向的夹角为a(a<45·）。求（1）当细线与竖直方向的夹角B多大时，才能使小球在由静止释放后细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零（2）当细线与竖直方向成a角时，至少要给小球多大的初速度，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动 欢迎高手来解答

Answer 1

（1）小球静止时，受重力mg、电场力qE（水平）、绳子拉力T，合力为0
重力和电场力的合力等效为一个”等效重力“，等效重力是　G效＝mg / cosa
根据单摆装置振动的对称性，绳子与竖直方向成角度a处是平衡位置，所以当 B＝2*a 时，才能使小球在由静止释放后细线到达竖直位置时，小球的速度恰好为零。
（2）在上述的”平衡位置“处，是小球在做圆周运动的等效最低点。设在此处至少要给小球的初速度大小是V0，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。
即小球在等效最高点处（与等效最低点在同一条直径），等效重力完全提供向心力（绳子是直的，拉力刚为0），设在等效最高点的速度大小是V
则　G效＝m*V^2 / L　.................................方程1
从等效最低点到等效最高点，由能量关系得　（也可由动能定理）
G效*2L＝（m*V0^2 / 2）－（m*V^2 / 2）......方程2
由方程1和2联立　得　V0＝根号（5gL / cosa）

Answer 2

等效重力场问题
将重力G=mg与电场力F=Eq合成，合力G' 不变，作为等效的重力G' ，物体在这个等效重力场中运动。
G' 的方向与竖直方向夹角为 a，大小G' =mg/cosa
因此，（1）问就是等效重力场中的单摆，当细线与竖直方向夹角为2a 时，小球静止释放后到竖直位置的速度为0

（2）问为求在等效重力场中的完整圆周运动的条件，初始时与竖直方向成a角，为等效重力场的最低点，要能做完整的圆周运动，则从该点经过半周后的速度对应的向心加速度刚好等于等效重力的大小，即等效重力刚好提供向心力
G'=mg' =mv^2/L
再由能量守恒
mg' * 2L=mv0^2/2-mv^2/2
其中g' 为等效重力加速度，g' =g/cosa
所以 v0=√(5g' L)=√(5g L/cosa)

Answer 3

1）小球在夹角为a时静止，说明小球在重力拉力和电场力作用下平衡，把小球运动看作单摆运动，即B＝2a；
2）小球受力顶点（a的反方向）动能最小，即向心力F=mVt^2/L=mg/cosa，即：Vt^2=gL/cosa......(1)
根据能量守恒(mVo^2)/2=(mVt^2)/2+mg2L/cosa......(2)
(其中：mg/cosa为单摆的等效重力，它是重力和电场力合力，也就是相当于一个合力场单摆)
把(1)代入(2)：V0^2=5gL/cosa，开方即可。