Question

三角形ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，如果a的平方=b（b+c），求证：A=2B

Answer 1

由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a²=b（b+c）中，
得sin²A=sinB（sinB+sinC）
∴sin²A-sin²B=sinBsinC
∴ （1-cos2A）/2- （1-cos2B）/2=sinBsin（A+B）
∴ 1/2（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
因为A、B、C为三角形的三内角，
所以sin（A+B）≠0．所以sin（A-B）=sinB．
所以只能有A-B=B，即A=2B．
希望对你有帮助~

追问

请问一下，第三步怎样变到第二步的呀？

追答

先利用正弦定理把题设等式中的边的问题转化成角的正弦，利用二倍角公式化简整理求得sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），进而推断出sin（A-B）=sinB．求得A=2B原式得证．

Answer 2

a²+c²-b²=bc+c²=2accosB
b+c=2acosB
sinB+sinC=2sinAcosB
sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
sinB+sinAcosB+sinBcosA=2sinAcosB
sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B)
B=A-B或B=π-(A-B)
A=2B或A=π(不符舍去)
所以证得A=2B

Answer 3

证明：由正弦定理可知，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入a2=b（b+c）中，
sin2A=sinB（sinB+sinC）
∴sin2A-sin2B=sinBsinC
∴ 1-cos2A／2- 1-cos2B／2=sinBsin（A+B）
∴ 1／2（cos2B-cos2A）=sinBsin（A+B）
∴sin（A+B）sin（A-B）=sinBsin（A+B），
∵A、B、C为三角形的三内角，
∴sin（A+B）≠0．∴sin（A-B）=sinB．
∴只能有A-B=B，即A=2B．