Question

已知f（x）=a-2/（3*x+1）（a∈R）

（1）、证明f（x）是R上的增函数。（2）、是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）证明如下：
f（x）=a-2/（3*x+1）= -2/（3*x+1）+a
f（x）=3*x+1在R上是增函数
f（x）=2/3*x+1在R上是减函数
f（x）= -2/（3*x+1）在 R上是增函数
故f（x）=a-2/（3*x+1）（a∈R）是R上的增函数
（2）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数则f（x）=-f（-x）
f（x）=a-2/（3*x+1）（a∈R） f（-x）=a-2/（-3*x+1）（a∈R）-f（-x）=-a+2/（-3*x+1）
a-2/（3*x+1））=-a+2/（-3*x+1）
2a=2(1/3*x+1+1/-3*x+1)
a=-2/(9*x^2-1)
f（1）=-f（-1）
f（1）=a-1/2=-f（-1)=-a-1
所以a=-1/4