Question

已知a,b∈R，函数f(x)=a的x+1次方+b的x+1次方/a的x次方+b的x次方（x∈R)

（1）判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论
（2）比较a的平方+b的平方/a+b 与根号下ab的大小

Answer 1

由于a,b的对称性,不妨设a≥b
(1)
①a=b,则f(x)=a为常数函数,f(x)不增不减
②a>b
对于任意的s>t
有f(s)-f(t)=(a^(s+1)+b^(s+1))/(a^s+b^s)-(a^(t+1)+b^(t+1))/(a^t+b^t)
=(a^s * b^t - a^t * b^s)(a-b)/((a^s+b^s)(a^t+b^t))
其中a-b>0,((a^s+b^s)(a^t+b^t))>0
a^s * b^t - a^t * b^s=a^t*b^t(a^(s-t) - b^(s-t))
而s-t>0,a>b,a^(s-t) - b^(s-t)>0
故f(s)-f(t)>0
f(x)是增函数.
(2)
①a=b,则(a^2+b^2)/(a+b)=a,√(ab)=a,(题目应该有a>0,b>0吧,若不然√(ab)有可能没有意义)
(a^2+b^2)/(a+b)=√(ab)
②a>b,则由f(1)>f(0)知
(a^2+b^2)/(a+b)>(a+b)/2≥√(ab)
即(a^2+b^2)/(a+b)>√(ab)