Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上， 圆O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC

垂足为F，（1）求证：直线EF是圆O的切线；（2）当直线DF与圆O相切时，求圆O的半径

Answer 1

（1）证明：连接OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°；

在△BOE中，OB=OE，∠B=60°，

∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°（三角形内角和定理），

∴∠BOE=∠A=60°，

∴OE∥AC（同位角相等，两直线平行）；

∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF，即直线EF是⊙O的切线；

（2）解：连接DF．

∵DF与⊙O相切，

∴∠ADF=90°．

设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4-r，AD=4-2r．

在Rt△ADF中，∠A=60°，

∴AF=2AD=8-4r．

∴FC=4r-4；

在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，

∴4-r=2（4r-4），

解得，r=4 3 ；

∴⊙O的半径是4 3 ．

Answer 2

1）
∵三角形ABC是等边三角形
∴<B=60º
∵B，E都是圆O上的点
∴OB=OE
∴三角形BOE是等边三角形
∴<OEB=60º=<C
∴OE//AC
∵EF⊥AC
∴EF⊥OE
而OE是圆O的半径
∴EF是圆O的切线
2）若 DF是圆O的切线
则DF⊥AB
设圆O的半径为 R
∵AB=4
∴AD=4-2R
在直角三角形ADF中，<A=60º
∴AD=1/2AF
又在直角三角形CEF中
CE=4-R
<C=60º
∴CF=1/2CE=1/2(4-R)
那么 AF=4-CF=4-1/2（4-R)=2+R/2
∵AD=1/2AF
∴4-2R=1/2(2+R/2)
8-4R=2+R/2
12-8R=R
9R=12
∴R=4/3

Answer 3

(1)连接OE，ED 发现角OED=角ODE=30度①
因为EF⊥AC且角C为60度，显然角FEC为30度②
在圆O中三角形BDE为直角三角形，所以角DEB为90度 ③
由①②③得 角DEF为60度④
由①④得角OEF为90度
因为OE为圆O半径，所以EF是圆O的切线
（2）设半径为r，则DE为根号3r=EF
所以EC=2r
因为BE=OE=r
所以BE+EC=4=3r
所以半径r=4/3

打得辛苦，请给分。。

追问

......
多谢 ~

追答

...哪儿出问题了。。

追问

没有 ~ 是我自己在“∠C为90°的时候看错了 ~ ”，不好意思啊 ~

Answer 4

（1）证明：连接OE，则OB=OE
∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠C=60°.
∴△OBE是等边三角形.
∴∠OEB=∠C =60°. ∴OE∥AC．
∵EF⊥AC，∴∠EFC=90°．
∴∠OEF=∠EFC=90°．
∴EF是⊙O的切线．
(2)连接DF,
∵DF与⊙O相切，
∴∠ADF=90°．
设⊙O的半径是r，则EB=r，EC=4-r，AD=4-2r．
在Rt△ADF中，∠A=60°，
∴AF=2AD=8-4r．
∴FC=4r-4；
在Rt△CEF中，∵∠C=60°，∴EC=2FC，
∴4-r=2（4r-4），
解得，r=34/3
∴⊙O的半径是4/3.

Answer 5

⑴ 连接OE。已知∠B=60º、 又OB=OE，故OBE为等边三角形，得∠OEB=60º。
在直角⊿EFC中：∠FEC=90º-∠C=90º-60º=30º。
得∠OEF=180º-∠OEB-∠FEC=180º-60º-30º=90º.
所以：直线EF是圆O的切线。
⑵ 由题意知∠ADF=90º，且DF=EF(圆外的一点向圆作的两条切线相等)，又∠A=∠C；
故⊿ADF≌⊿CFE，则AF=CE=2CF。
得AC=AF+CF=2CF+CF=3CF， CF=1/3AC=4/3， AD=CF=4/3。
BD=AB-AD=4-4/3=8/3,
圆O的半径=BD/2=4/3 。