Question

求解一道初三上册关于圆的数学证明题：

圆O与圆O1相交A.B两点,过点A作圆1的切线交圆O与点C。过点B作两圆的割线分别交圆O，圆O1于点E、F，EF与AC相交于点P。
1.求证：PA*PE等于PC*PF;
2.求证：PE²/PC²等于PF/PB；
3.当圆O1与圆O为等圆，PC:CE:EP等于3:4:5时，求△ECP与△FAP的面积的比值。

Answer 1

1只要PAF相似PCE。其中一对对顶角，EPC=APF，还有，角CEP=CAB=AFB(圆周角性质)
2.利用1得到的结论
3.由题设，ECP为直角三角形，所以AE为直径。由1的相似，所以AF也是直径。所以B为EF中点。
设PC=3x,PB=3y,则ap=5y,bf=3y+5x,由于PA^2=PB*PF,可求出EP/PB=5X/3Y=16/9,EP/PF=16/35
面积比为其平方。
好像计算有点问题，你自己算算。思路没问题。

追问

证明PAF相似PCE的步骤可不可以再详细些？或者第一问有没有其它方法可以解决？（我没学过相似啊）

追答

这题一定要用相似。怎么会没学过相似？全等学过吧，相似就是两个全等三角形其中一个放大。
与全等的差别是：全等的两个三角形对应边相等，也就是比例为1，而相似是对应边成比例，但值不为1。
相似的条件是三角形两角对应相等。PAF相似PCE，你自己看，有两个角是相等的。其中一对角是对顶角，角epc=apf，而角ceb=cab=afb相等，这是圆周角的性质。

Answer 2

1、证明：连结AB，因为AC为O1的切线，则角AFP=角PAB,角PAB=角PEC，推出三角形PEC相似于三角形PFA即可。
2、利用切线长定理PA²=PB*PF,再把1中的PA=PC*PF/PE代人即可
3、仿照.jx064321o66的回答：
由题设，ECP为直角三角形，所以AE为直径。由1的相似，所以AF也是直径。所以B为EF中点。
设PC=3x,PB=3y,则ap=5y,bf=3y+5x,由于PA^2=PB*PF,可求出EP/PB=5X/3Y=16/9,EP/PF=16/35
面积比为其平方。