Question

lim[tan(兀/4+2/n)]^n n趋于无穷大时为什么不是1

lim[tan(兀/4+2/n)]^n n趋于无穷大时为什么不是1
我知道可以用洛必达，只是n趋于无穷大时2/n不是趋于0吗那不就是变成tan兀/4了吗

Answer 1

具体回答如下：

令t = 1/n，t->0

lim(n->∞) [tan(π/4 + 2/n)]^n

= e^lim(n->∞) n ln[tan(π/4 + 2/n)]

= e^lim(t->0) ln[tan(π/4 + 2t)]/t

= e^lim(t->0) [1/tan(π/4 + 2t)] * sec²(π/4 + 2t) * 2 <= 洛必达法则上下求导

= e^[1/tan(π/4) * sec²(π/4) * 2]

= e^(1 * 2 * 2)

= e^4

几何意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

洛必达法则解决。
lim(n->∞) [tan(π/4 + 2/n)]^n
= e^lim(n->∞) n ln[tan(π/4 + 2/n)]
令t = 1/n，t->0，则
= e^lim(t->0) ln[tan(π/4 + 2t)]/t
= e^lim(t->0) [1/tan(π/4 + 2t)] * sec²(π/4 + 2t) * 2 <= 洛必达法则上下求导
= e^[1/tan(π/4) * sec²(π/4) * 2]
= e^(1 * 2 * 2)
= e^4

追问

我知道可以用洛必达，只是n趋于无穷大时2/n不是趋于0吗那不就是变成tan兀/4了吗

追答

同时还要想想指数上的n
考虑极限lim(x->∞) (1 + 1/x)^x
若你只考虑括号里的x，那这极限就变了(1 + 0)^∞ = 1^∞ = 1？而不是e？
所以这样思考不对的。