Question

已知定义在R的函数f(x)满足:①对任意的x,y∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)>0

(1)求证：f(1)=0;
(2)求证：对任意的x∈R，都有f(1/x)=-f(x);
(3)判断f(x)在(-∞,0)上的单调性。

Answer 1

（1）因为f(xy)=f(x)+f(y) , f(1)=f(1乘O)=f(1)+f(0) 所以f（O）＝f（1）＋f（0），f（1）＝0。（2）因为f（1/x）＋f（x）＝f（1/x乘x）＝f（1）＝0所以f（1/x）＝－f（x）。（3）由（2）知当x＝1时f（1）＝－f（1）为偶函数，x大于1时f（x）大于0，所以在（负无穷到0）单调增，（3）不是那么确定，望采纳