Question

如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG

（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）由AC∥BG，得：∠BGD＝∠CFD，∠GBD＝∠FCD，结合BD＝CD，可知：
　　　△BGD、△CFD全等，得：BG＝CF。
（2）由△BGD、△CFD全等，得：DG＝DF，结合DE⊥DF，得EG＝EF。
　　　显然有：BE＋BG＞EG，于是：BE＋CF＞EF。

Answer 2

因为BG平行与AC 所以角GBD＝角DCA 又因为角BDG＝角CDF D为BC中点，所以BD＝CD，所以由角角边的定理推出三角形BGD全等于三角形CFD，所以BG＝CF。
（2）：由于全等，所以D也为GF的中点，又因为ED垂直于GF，所以三角形EGF为等腰三角形！所以GE＝EF，又因为BG＝CF，所以再三角形BGE中有BE＋BG大雨GE，所以BE＋CF也大于EC!
有用请采纳

Answer 3

证明：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．

Answer 4

证明
∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
又∵BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
当∠EBG为直角即 ∠A为直角时 BE²+CF²=EF²
当∠EBG为钝角即 ∠A为锐角时 BE²+CF²<EF²
当∠EBG为锐角即 ∠A为钝角时 BE²+CF²>EF²