Question

一个简单的三角函数问题

我们知道sin2A=2sinAcosA 以及余弦正切的两倍角公式。
那么除了两倍角，别的倍角有没有公式呢？
如sin3A,sinkA(k>0,k∈R）
有的请说，要证明过程。如果没的就回答没有，要两倍角公式的证明过程。
谢谢

Answer 1

有，都有Sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2SinACosA
cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=CosA^2-SinA^2
tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanA*tanA)=2tanA/（1-tanA^2）
根据三角函数的诱导公式的两角和差公式
三倍角公式的证明
思路：三部曲：先3x分解成2x+x,用和角公式展开；再用倍角公式统一成单角x；最后化简成一种函数，便于记忆和使用。

●三倍角的正弦公式
sin3x=3sinx-4sin^3 x
证明：
sin3x
=sin(2x+x) （分解成2x+x）
=sin2xcosx+cos2xsinx（和角正弦公式展开）
=2sinxcosxcosx+(1-2sin^2 x)sinx（用倍角余弦公式统一成单角x）
=2sinx(1-sin^2 x)+ (1-2sin^2 x)sinx（化简成一种函数）
=3sinx-4sin^3 x
●三倍角的余弦公式
cos3x=4cos^3x-3cos x
证明：
cos3x
=cos(2x+x) （分解成2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx（和角余弦公式展开）
=（2cos^2 x-1）cosx-2sinxcosxsinx（用倍角余弦公式统一成单角x）
=（2cos^2 x-1）cosx-2cosx(1-cos^2 x)（化简成一种函数）
=4cos^3 x-3cosx
●三倍角的正切公式
tan3x=(3t-t^3)/(1-3t^2), 其中t=tanx。
证明：
令t= tanx, tan2x=2t/(1-t^2)
tan3x=tan(2x+x) （分解成2x+x）
=(tan2x+tanx)/(1-tan2x tanx) （和角正切公式展开）
=[2t/(1-t^2)+t]/[1-2t/(1-t^2)•t] （用倍角正切公式统一成单角x）
=(3t-t^3)/(1-3t^2), 其中t=tanx。（化简）
应用举例
求证：tan3x=tan(60+x)tan(60-x)tanx
证明：令t= tanx
tan(60+x)=(√3+t)/(1-√3t)
tan(60-x) =(√3-t)/(1+√3t)
tan(60+x)tan(60-x)tanx
=(3-t^2)t/(1-3t^2)
=tan3x(三倍角正切公式)

追问

谢谢！用你的方法，倍角公式sinkA(k∈Z）的公式都已经可以做了
但是请问当k为分数甚至无理数时有没有公式？

追答

有，但非常麻烦，目前没人算出

追问

想了解一下思路

追答

分数时应该能算，无理数不能算

追问

算一下sin3/2A（要过程）
谢谢 算出来就给你分

追答

还真是不会。。。。。。能力有限。唉

Answer 2

二倍角的很容易。知道sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
令B=A接着sin2A=2sinAcosA cos2A=cosA^2-sinA^2
同理sin（3A）=sin（2A+A）=sin2AcosA+cos2AsinA=3sinAcosA^2-sinA^3
后面的就类推就可以了。

追问

那能不能算类似sin3/2A一类的呢？（即当倍数是分数时）

Answer 3

有 不过没有用 有二倍角就足够了

追问

没有用我也想了解一下。求公式

追答

楼下有