Question

求三重积分，如图

倒数第二题画线的部分，图像怎么画？

Answer 1

积分区域为半球体，极坐标换元即可

追问

不应该是z>=0才是半球体嘛

追答

那两个曲面所围成的区域就是半球体呀，你是不是看漏了围成这个词

Answer 2

Ω为半球体
∫∫∫Ω [√（x²+y²）+xy]dv
根据对称性∫∫∫Ω xydv=0
所以原式=∫0→√（1-x²－y²） dz∫∫（x²+y²≤1) √（x²+y²）dxdy
换成极坐标系得
=∫0→√（1-r²）dz∫0→2π dθ∫0→1 r²dr
=∫0→2π dθ∫0→1 r²√（1-r²）dr ①
令r=sinβ β∈[0，π/2]
则①式=2π∫0→π/2 sin²βcosβdsinβ
=2π∫0→π/2 sin²βcos²βdβ
=π/2 ∫0→π/2 sin²2βdβ
=π/4∫0→π/2 （1-cos4β）dβ
=π/4（β－sin4β/4）|0→π/2
=π/4 ×π/2
=π²/8

Answer 3

求三重积分，