Question

高中数学。已知双曲线x的方程为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意

一点，若|PF1|2/|PF2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是?求详解

Answer 1

记|PF1|=m,|PF2|=n
|PF1|2/|PF2|=m^2/n=(n+2a)^2/n
=(n^2+4an+4a^2)/n
=n+4a^2/n+4a≥2√(4a^2)+4a=8a
当且仅当n=4a^2/n，n^2=4a^2,
n=2a时取等号
|PF1|2/|PF2|的最小值为8a
则n=2a能够成立
∵n≥c-a ∴2a≥c-a,3a≥c
e=c/a≤3,又e>1
∴1<e≤3

追问

为什么n+4a^2/n+4a≥2√(4a^2)+4a=8a/?三个连加也适用吗？

追答

可以分开的，连着写也没问题
∵n+4a^2/n≥2√(4a^2)
两边同时加上常数4a
∴n+4a^2/n+4a≥2√(4a^2)+4a

开始提交后，不知怎么就给我删了，投诉才找回来

Answer 2

x^2/a^2-y^2/b^2=1
PF1^2/PF2>=8a
PF1^2/(PF1-2a)>=8a
PF1^2-8aPF1+16a^2>=0
(PF1-4a)^2>=0
PF1最小时，PF1=c+a
4a=c+a
3a=c
e=c/a=3
则双曲线离心率的取值范围是e≥3

追问

可答案是﹙1,3]

追答

由(PF1-4a)^2>=0可解得：PF1-4a>=0，或PF1-4a=4a，或a+c≤PF1≤4a，
那么答案应该是：1<e啊？

追问

你不是求双曲线离心率的取值范围是e≥3 ，怎么又1<e了/?

追答

开始解的时候少了一步，最后求得的并集是：1<e，第一追问的回答给了你步骤。我解不出你所给的答案，抱歉。