Question

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形，∠ADC-45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD,PO=2，M为PD的中

（1）求多面体ABCPM的体积；
（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。

Answer 1

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴ABCD的面积＝2△ACD的面积。
∵AD＝AC＝1，∴∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AD⊥AC，
∴△ACD的面积＝（1/2）AD×AC＝（1/2）×1×1＝1/2，∴ABCD的面积＝1。
∴P－ABCD的体积＝（1/3）ABCD的面积×PO＝（1/3）×1×2＝2/3。

∵M是PD有中点，∴M到平面ABCD的距离＝P到ABCD的距离的一半＝PO/2＝1，
∴M－ACD的体积＝（1/3）△ACD的面积×1＝（1/3）×（1/2）＝1/6。
∴ABCPM的体积＝（P－ABCD的体积）－（M－ACD的体积）＝2/3－1/6＝1/2。

第二个问题：
令DO的中点为N。
∵M、N分别是PD、DO的中点，∴MN是△PDO的中位线，∴MN∥PO，而PO⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，∴∠MAN为AM与平面ABCD所成的角。

∵AD⊥AO、DN＝ON，∴AN＝DO/2。
由勾股定理，有：DO＝√（AD^2＋AO^2）＝√（1＋1/4）＝√5/2，∴AN＝√5/4。
又MN＝PO/2＝1。
∴tan∠MAN＝MN/AN＝1/（√5/4）＝4√5/5。
∴AM与平面ABCD所成角的正切值为 4√5/5。